Ficks lagar beskriver diffusion.[1] De härleddes av Adolf Fick efter att han, inspirerad av Thomas Graham, experimenterat på flöden och koncentrationer i saltvatten genom att låta salt diffundera mellan behållare med olika koncentration.[2] Lagarna publicerades för första gången i Annalen der Physik år 1855 och har en stor mängd tillämpningar inom allt från medicin och växtvetenskap till klimatforskning och teknik.[3] Utgångspunkten för lagarna är att en koncentrationsgradient i ett system kommer att leda till att ämnen diffunderar från ställen med högre koncentration till ställen med lägre koncentration.

Ficks första lagRedigera

Då ingen tillförsel sker till ett system kommer halten av ett ämne att diffundera enligt formeln

 , där J står för flödet (substansmängd per areaenhet och tidsenhet), D för diffusionskoefficienten, c är koncentrationen och x är positionen.[4] Ju större koncentrationsgradienten är, i till exempel en lösning, desto större blir flödet av substansmängd per areaenhet och tidsenhet.

I två eller fler dimensioner ges Ficks första lag istället av

 

där   i detta fall symboliserar gradienten och ger en motsvarighet till derivata i flera dimensioner.[5]

HärledningRedigera

 
Flödet genom planet vid x=0 beror på flödet genom planen en fri medelväglängd bort.

Om   betecknar den fria medelväglängden, innebär detta att att en partikel som färdas rakt från en punkt   mot punkten   i medeltal hinner precis fram till punkten   innan den kolliderar med en annan partikel.[1]

Om koncentrationen i en punkt   är   kan koncentrationen,  , i punkten  , beskrivas enligt

 

Det gäller även att koncentrationen i punkten  , dvs.  , kan beskrivas på liknande vis enligt

 

Formlerna ovan ges av de första två termerna i Taylorutvecklingen för  , runt  , och ger en bra approximation av verkligheten eftersom   är mycket litet.[4]

Om vi antar att alla partiklar rör sig enbart i x-riktningen kan vi bestämma det totala flödet igenom ett plan vid punkten  . Detta genom att betrakta flödet mot   igenom planen vid  . Dvs. flödet från planet vid   i positiv x-riktning och flödet från planet vid   i negativ x-riktning, se bilden till höger.

Flödet  i positiv riktning genom punkten  , beror på partikeldensiteten, alltså koncentrationen, i punkten. Det beror även på fördelningen av partiklarnas hastighet. Om   är koncentrationen i punkten  ,  är en viss hastighet i x-riktningen och   ger andelen partiklar med denna givna hastighet, så kan flödet   bestämmas med följande integral,

 .

Genom att använda formeln för hastighetsfördelningen och lösa integralen får vi

 

 .

I det sista steget användes sambandet

 ,

där   är partiklarnas medelhastighet i x-riktningen.[4]

Med hjälp av uttrycket för  , kan vi nu beräkna flödet   i positiv x-riktning genom planet vid punkten  ,

 

Likadant får vi flödet   i negativ x-riktning genom planet vid punkten  ,

 

Det totala flödet genom planet vid punkten  , ges av flödet i positiv riktning från   subtraherat med flödet i negativ riktning från  .[4] Vi får då

 .

Detta samband är dock inte helt riktigt då vi i uträkningarna ovan antog att alla partiklar endast rörde sig i x-riktningen. Om partiklarna rör sig snett hinner de i medeltal inte från   till   innan de kolliderar med andra partiklar. Vid kollision kan en partikeln antingen kollidera bort från planet vid  , och då inte bidra till flödet, eller kollidera mot planet vid   och ändå bidra till flödet. För att ta hänsyn till detta måste vi ta riktningsmedelvärdet av hastigheten. Detta ger i praktiken en minskning av det totala flödet med en faktor  .[4] Detta ger följande uttryck för det totala flödet,

 

  och   är konstanter som beror på det flödande ämnets egenskaper kan de bakas ihop till en ny konstant

 .

Det är denna konstant som kallas för diffusionskoefficienten och med den får vi

 

vilket skulle visas.

Ficks andra lagRedigera

För dynamiska system där koncentrationen i sin helhet kan minska eller öka beskrivs diffusionen av

 , med samma beteckningar som ovan.[4]

I två eller fler dimensioner ges Ficks andra lag istället av

 ,

där   är Laplaceoperatorn, som ibland även betecknas med  , och ger en motsvarighet till andraderivata i flera dimensioner.[5]

Härledning från Ficks första lagRedigera

Om   beskriver flödet i en viss punkt   ges det, enligt Ficks första lag, av

 .

Flödet i en punkt   längdenheter bort, det vill säga i punkten  , ges av   som enligt Ficks första lag beskrivs av

 .

Det gäller att

 , [4]

och flödet   kan således skrivas om till

 .

 
Flödet in och ut ifrån området mellan två plan vid punkterna x respektive (x+dx).

Om vi sätter två plan vid punkten  , respektive  , så beskriver   och   hur partiklar flödar in och ut från området mellan planen, se bilden till höger. Om flödena är identiska kommer det att flöda in och ut lika stor mängd partiklar mellan planen och då blir koncentrationen,  , mellan planen konstant. Om flödena istället är olika kommer detta att resultera i en förändring av koncentrationen över tid. Om planens areor är lika stora kommer skillnaden i flöde vara proportionell mot skillnaden i koncentration och detta beskrivs i sambandet nedan.[4]

 

 

 

vilket skulle visas.

Liknande lagarRedigera

Ficks andra lag liknar många av de andra flödeslagar som upptäcktes under 1800-talet. Till exempel Joseph Fouriers värmeledningsekvation, som beskriver hur värme flödar, och Ohms lag, som beskriver laddningsflöde.[2]

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  1. ^ [a b] Illingworth, Valerie (1990). THE PENGUIN DICTIONARY OF PHYSICS. sid. 171, 292 
  2. ^ [a b] Philibert, Jean (2005). ”One and a Half Centuries of Diffusion: Fick, Einstein, before and beyond”. Diffusion Fundamentals. https://web.archive.org/web/20090205030323/http://www.uni-leipzig.de/diffusion/journal/pdf/volume2/diff_fund_2(2005)1.pdf. 
  3. ^ ”On the sesquicentennial of Fick's laws of diffusion”. www.nature.com. 1 april 2005. https://www.nature.com/articles/nsmb0405-280. Läst 27 maj 2021. 
  4. ^ [a b c d e f g h] Engel, Thomas; Reid, Philip (2006). Thermodynamics, Statistical Thermodynamics, and Kinetics. sid. 411-414 
  5. ^ [a b] Månsson, Jonas; Nordbeck, Patrik (2013). Flerdimensionell analys. Studentlitteratur