Erdős–Kacs sats

Inom talteori är Erdős–Kacs sats, uppkallad efter Paul Erdős och Mark Kac, även känd som probabilistiska talteorins fundamentalsats, en sats som säger att om ω(n) betecknar antalet skilda primtalsfaktorer av n, då är sannolikhetsfördelningen av

{\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n}}}

normalfördelningen. Det här är en djup utvidgning av Hardy–Ramanujans sats, som säger att normala ordningen av ω(n) är log log n med ett typiskt fel av storlek ${\sqrt {\log \log n}}$ .

Mer precist är för alla fixerade a < b

\lim _{x\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{x}}\cdot \#\left\{n\leq x:a\leq {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n}}}\leq b\right\}\right)=\Phi (a,b)

där $\Phi (a,b)$ är den normala (eller "Gaussiska") fördelningen, definierad som

\Phi (a,b)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-t^{2}/2}\,dt.

Referenser redigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Erdős–Kac theorem, 24 januari 2014.

Erdős, Paul; Kac, Mark (1940). ”The Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Number Theoretic Functions”. American Journal of Mathematics 62 (1/4): sid. 738–742. ISSN 0002-9327.
Kac, Mark (1959) (på engelska). Statistical independence in probability, analysis and number theory. The Carus mathematical monographs, 0069-0813 ; 12. New York: Mathematical Association of America; distributed by Wiley. Libris 11940649
Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008). ”The Erdős–Kac theorem and its generalizations”. i De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13--17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. "46". Providence, RI: American Mathematical Society. sid. 209-216. ISBN 978-0-8218-4406-9