Elliptisk Gaussumma

Inom matematiken är en elliptisk Gaussumma en analogi av Gaussumman som beror på en elliptisk kurva med komplex multiplikation. Legendresymbolen i Gaussumman ersätts med en högre restsymbol och exponentialfunktionen i Gaussumman ersätts med en elliptisk funktion. Elliptiska Gaussummor introducerades av Gotthold Eisenstein 1850.

Exempel

Lemmermeyer ger följande exempel av en elliptisk Gaussumma för en elliptisk kurva med komplex multiplikation med i.

$-\sum _{t}\chi (t)\phi \left({\frac {t}{\pi }}\right)^{(p-1)/m}$

där

• Summan är över alla rester mod P vars representativer är Gaussiska heltal
• n är ett positivt heltal
• m är ett positivt heltal som delar 4n
• p = 4n+1 är ett rationellt primtal lika med 1 mod 4
• φ(z) = sl((1 – i)ωz) där sl en viss lemniskatisk elliptisk funktion
• χ är mte potensrestsymbolen i K i förhållande till primtalet P av K
• K är kroppen k[ζ]
• k är kroppen Q[i]
• ζ är en primitiv 4n-te rot av 1
• π är ett primärt primtal i Gaussiska heltalen Z[i] med norm p
• P är ett primtal i ringen av heltal K ovanför π med inertiagrad 1

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Elliptic Gauss sum, 6 februari 2014.

• Asai, Tetsuya (2007), ”Elliptic Gauss sums and Hecke L-values at s = 1”, Proceedings of the Symposium on Algebraic Number Theory and Related Topics, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B4, Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto, s. 79–121, , http://arxiv.org/abs/0707.3711 
• Cassou-Noguès, Ph.; Taylor, M. J. (1991), ”Un élément de Stickelberger quadratique”, Journal of Number Theory 37 (3): 307–342, doi:10.1016/S0022-314X(05)80046-0, , ISSN 0022-314X, http://dx.doi.org/10.1016/S0022-314X(05)80046-0 
• Eisenstein, Gotthold (1850), ”Über einige allgemeine Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Teilung der ganzen Lemniskate abhängt, nebst Anwendungen derselben auf die Zahlentheorie”, Journal für Reine und Angewandte Mathematik 39: 224–287, Reprinted in Math. Werke II, 556–619, ISSN 0075-4102, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0039 
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity laws, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, , ISBN 978-3-540-66957-9, http://books.google.com/books?id=EwjpPeK6GpEC 
• Pinch, R. (1988), ”Galois module structure of elliptic functions”, i Stephens, Nelson M.; Thorne., M. P., Computers in mathematical research (Cardiff, 1986), Inst. Math. Appl. Conf. Ser. New Ser., "14", Oxford University Press, s. 69–91, , ISBN 978-0-19-853620-8, http://books.google.com/books?id=SraEAAAAIAAJ