En dualbas är ett begrepp inom linjär algebra som syftar på en speciell bas i ett vektorrums dualrum, givet en bas i det ursprungliga vektorrummet.

DefinitionRedigera

Givet ett ändligtdimensionellt vektorrum V och en bas till V bestående av element (ei), konstrueras en dualbas bestående av element (fi) i dualrummet V* genom:

 

Linjäriteten hos funktionalerna fi gör att detta definierar fi:s värde för alla vektorer i V. Andra notationer för fi är ei* och ei.

Om V är ett ändligtdimensionellt vektorrum är dualbasen en bas för dualrummet. Är V oändligtdimensionellt är detta inte garanterat.

ExempelRedigera

Komplexa talRedigera

Om man betraktar de komplexa talen som vektorrum över de reella talen och väljer basvektorerna 1 och i blir dualbasen Re och Im, de funktioner som avbildar ett komplext tal på dess real- respektive imaginärdel.

PolynomrumRedigera

Låt V vara vektorrummet bestående av polynom med grad mindre än eller lika med 2, dvs polynom på formen ax2 + bx + c. Ta {1, x, x2} som bas för V. Vi får då dualbasen {f1, f2, f3}:

 
 
 

Dualbasvektorerna kan tolkas som:

 .

ReferenserRedigera

  • Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 

Se ävenRedigera