Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp är isomorf med någon permutationsgrupp.[1] En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet.

BevisRedigera

Beviset för Cayleys sats går ut på att det finns en undergrupp till den symmetriska gruppen , betecknad  , som är isomorf med  .

Tag ett   och definiera en avbildning   som   för alla  . Bilda  , som är en delmängd till  .   är en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation:

 

dvs,  . Det neutrala elementet   ligger i   eftersom  . Inversen till   ges av  . Detta ger att   är en grupp, specifikt en delgrupp till  .

Gruppen   är i själva verket isomorf med  , ty   definierad som   är en isomorfi:

  är injektiv, ty om   är   som ger  .
Att   är surjektiv följer ur definitionen.
Att   är en grupphomomorfi, dvs att   följer ur  .

De tre egenskaperna ovan ger att   är en isomorfi. Alltså är gruppen   isomorf med permutationsgruppen  , vilket bevisar Cayleys sats.

GeneraliseringRedigera

Cayleys sats kan generaliseras. Om   är en delgrupp till   med index   så finns en homomorfi   där   är den symmetriska gruppen med   element sådan att  :s kärna är en delgrupp till  . Med   fås den ursprungliga satsen.

BevisRedigera

Låt   vara ett element i   och låt   vara mängden av vänstersidoklasser till   i  . Definiera en funktion   genom

 

för alla  . Funktionen   är då en permutation av   och avbildningen   definierad genom

 

är en homomorfi, då det gäller att

 

Gruppen   är isomorf med  , då vi från förutsättningarna vet att   har   element. Alltså är avbildningen en homomorfi.

Låt nu specifikt   vara ett element i kärnan till  . Då är   för alla  , och speciellt är   vilket ger att  . Alltså gäller att  :s kärna är en delgrupp till  , vilket skulle visas.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

NoterRedigera

  1. ^ Dummit, D. S.; Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3). Wiley. sid. 120. ISBN 978-0-471-43334-7 

Tryckta källorRedigera

  • Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4 
  • Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag. ISBN 3-540-94285-8