Cauchys uppskattning är ett sätt att uppskatta n :te derivatan av en komplexvärd funktion. Den bygger på Cauchys integralformel .
|
f
n
(
z
0
)
|
≤
n
!
r
n
max
|
w
−
z
0
|
=
r
|
f
(
w
)
|
{\displaystyle |f^{n}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\max _{|w-z_{0}|=r}|f(w)|}
|
f
n
(
z
0
)
n
!
|
=
|
1
2
π
i
∫
|
w
−
z
0
|
=
r
f
(
w
)
(
w
−
z
0
)
n
+
1
d
w
|
≤
1
2
π
1
r
n
+
1
max
|
w
−
z
0
|
=
r
|
f
(
w
)
|
2
π
r
=
1
r
n
max
|
w
−
z
0
|
=
r
|
f
(
w
)
|
{\displaystyle \left|{\frac {f^{n}(z_{0})}{n!}}\right|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{\left(w-z_{0}\right)^{n+1}}}dw\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{r^{n+1}}}\max _{|w-z_{0}|=r}|f(w)|2\pi r={\frac {1}{r^{n}}}\max _{|w-z_{0}|=r}|f(w)|}
Första likheten kommer ifrån Cauchys integralformel och olikheten från en form av triangelolikhet för kurvintegraler som tar hänsyn till kurvans längd (2πr i detta fall):
|
∫
γ
f
(
z
)
d
z
|
≤
sup
|
f
(
z
)
|
|
γ
|
:
{\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)dz\right|\leq \sup |f(z)||\gamma |:}
ty om kurvan γ är en parametrisering av kurvan på intervallet [a , b ], dvs ändpunkterna är γ (a ) och γ (b ):
|
∫
γ
f
(
z
)
d
z
|
=
|
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
d
γ
(
t
)
d
t
d
t
|
≤
sup
|
f
(
z
)
|
∫
a
b
|
γ
(
t
)
d
t
|
d
t
≤
sup
|
f
(
z
)
|
|
γ
|
{\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)dz\right|=\left|\int _{a}^{b}f({\gamma (t)}){\frac {d\gamma (t)}{dt}}dt\right|\leq \sup |f(z)|\int _{a}^{b}\left|{\frac {\gamma (t)}{dt}}\right|dt\leq \sup |f(z)||\gamma |}
