Bryta ut en faktor

Att bryta ut en faktor är att applicera den distributiva lagen för multiplikation "baklänges":

En bild som visar den distributiva egenskapen som används vid utbrytning.

$a\cdot b+a\cdot c=a(b+c)$

för att exempelvis lösa en ekvation.

Exempel

En lösning av den enkla ekvationen $2x+3x=1\$ kan gå till såhär:

${\begin{aligned}2x+3x&=1\\(2+3)x&=1\\5x&=1\\x&={\frac {1}{5}}\\\end{aligned}}$

När man utför den intuitiva förenklingen (första steget) $2x+3x=5x\$ bryter man egentligen ut x: $2x+3x=(2+3)x=5x\$

Denna insikt är bra att ha när man ska lösa mer komplicerade ekvationer, till exempel

${\begin{aligned}{\sqrt {2}}x+{\sqrt {3}}x&=1\\({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})x&=1\\x&={\frac {1}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}$

Polynom

En vanligt förekommande faktorutbrytning förekommer i polynom. Säg att man ska lösa ekvationen

$x^{5}+4x^{4}-4x^{3}=0\,$

då man först kan bryta ut faktorn $x^{3}$:

$x^{3}(x^{2}+4x-4)=0\,$

och sedan dela upp det i två fall, antingen så är $x^{3}=0$ eller så är $x^{2}+4x-4=0$.

Det är svårare att se mer komplicerade fall när det gäller polynom, exempelvis att

$x^{3}-x-6=(x-2)(x^{2}-2x+3)\,.$

Något som görs enklare av faktorsatsen och polynomdivision.