En boolesk ring är en ring R sådan att för alla element a, som tillhör R gäller att a² = a, det vill säga elementen är idempotenta.

EgenskaperRedigera

En boolesk ring är kommutativ, vilket kan bevisas med utgångspunkt från dess definition. Låt elementen a och b tillhöra R. Då fås:

  vilket medför att,  

Förenkling ger att,  .

Efter det att ekvationens båda led subtraherats med   fås att  .

Detta samband ger att   och även, om   ersätts med  , att  .

Alltså,  

varur man får att,   och att,  .

Således är ringens karakteristik = 2 och den additiva inversen till   är  , dvs   är invers till sig själv.

Ringens kommutativitet ges av att,  .

Om potensmängden till en mängd M, är  , där   är en delmängd till  , så är   en boolesk ring med symmetrisk differens  , motsvarande det logiska konnektivet XOR, som addition och snitt  , motsvarande det logiska konnektivet AND, som multiplikation.

Allmänt gäller att varje boolesk ring   är isomorf med en boolesk algebra   med definitionerna:

 
 
 .

Med ovanstående räkneregler är   en boolesk algebra. En boolesk ring och en boolesk algebra är således ekvivalenta begrepp.[1]

Varje delring och kvotring av en boolesk ring, är en boolesk ring.

ReferenserRedigera

  • Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, Waltham Massachusetts 1964.
  • John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley, New York 1967.
  • Geoffrey Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.

NoterRedigera

  1. ^ B.L. van der Waerden, Algebra. Springer-Verlag, Berlin 1936.
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.