Arcus sinus hyperbolicus
Arcus sinus hyperbolicus är inversen till den hyperboliska funktionen sinus hyperbolicus. Funktionen betecknas vanligen "arcsinh" (eller "arsinh", eller "sinh−1"), och ett explicit uttryck för funktionsvärdet är
Här anger suffixet "-h" att det är en hyperbolisk och inte en trigonometrisk funktion. Prefixet "arc-" antyder att det rör sig om en invers hyperbolisk funktion. Prefixet kommer från den motsvarande inversa trigonometriska funktionen arcsin, där "arc-" står för båglängd. I det hyperboliska fallet saknas emellertid tolkningen att står för en båglängd. Däremot kan funktionsvärdet tolkas som en viss area; därför förespråkas ibland beteckningen "arsinh" (där "ar" står för "area") i stället för "arcsinh". Även beteckningen förekommer; en upphöjd minusetta betecknar ju i allmänhet en funktionsinvers.
Explicit uttryck
redigeraFör att ta fram ett explicit uttryck för börjar man med att välja något (där är värdemängden till sinh). Det finns då ett (där är definitionsmängden till sinh) sådant att
(där vi använde definitionen av sinus hyperbolicus). Med fås
Här använde vi att ty
- .
Med tanke på att har vi därför
d.v.s.
- .
Alltså är
Derivata
redigeraBevis:
Integral
redigeraDen primitiva funktionen till arcsinh är
Bevis:
Partiell integration av en inskjuten etta ger