1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ är inom matematiken en oändlig serie som är ett elementärt exempel på en geometrisk serie med absolut konvergens.

Visuell demonstration av de sex första summanderna.

Dess summa är:

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1.$

Diskret bevis

Som med alla oändliga serier, den oändliga summan

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$

definieras att innebära gränsen av summan av de n första termerna

$s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}$

det att n närmar sig oändligheten. Multiplicera s_n med 2 så framgår en använd användbar relation:

$2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}.$

Subtrahera s_n från båda sidor,

$s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.$

när n går mot oändligheten, går s_n mot 1.

Historia

Serien användes som representation av en av Zenons paradoxer. Delarna av Horusögat var en gång tänkt att representera de sex första summanderna av serien.

Se även

• 0,999…

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯, 3 januari 2014.