Tb-satsen

Tb-satsen är en matematisk sats som säger att en viss singulär integraloperator, T, är en begränsad operator $T:L^{p}\rightarrow L^{p}$ om och endast om man kan definiera T för en vissa funktion $b_{1}$ och man kan definiera T:s transponat T* för en viss funktion $b_{2}$. Satsen säger då att man måste testa operatorn T och transponatet T* för endast dessatvå funktioner $b_{1}$ och $b_{2}$.

Guy David, Jean-Lin Journé och Stephen Semmes bevisade Tb-satsen 1985.

Bakgrund

En linjär operator T som opererar på mätbara funktioner i $\mathbb {R} ^{n}$ är en integraloperator om det finns en kärna $K:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ så att man kan formulera

$Tf(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy$

för en funktion f och alla $x\in \mathbb {R} ^{n}$. Tyvärr är ofta den här formeln inte definierad för alla funktioner och inte heller för alla punkter. De här operatorerna kallas singulära. Mer precist, en integraloperator T är en singulär integraloperator om kärnan K inte är definierad inom diagonalen

$\{(x,y):x=y\}\,$

och Tf(x) är definierad bara när

$x\notin {\mbox{spt}}(f):={\overline {\{f(u):u\neq 0\}}}\,$,

dvs Tf(x) är inte definierad i funktionens f underlag.

Den intressanta frågan är: hur kan vi definiera en singulär integraloperator så att den är en begränsad operator $L^{p}\rightarrow L^{p}$ där $L^{p}\,$ är $L^{p}$-rummet för $\mathbb {R} ^{n}$?

Hilberttransform

Till exempel, låt $f\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$, dvs underlaget för f är en kompakt mängd och f är $C^{\infty }$. Definiera

$Hf(x):=\int {\frac {f(y)}{x-y}}\,dy$

för $x\notin {\mbox{spt}}(f)\,$, dvs $H\,$ är Hilberttransformen. Då blir kärnan

$K(x,y)={\frac {1}{x-y}}$.

Hilberttransformen är en singulär integraloperator eftersom kärnan har en singulär punkt när $x=y\,$. Man kan också definiera Hilbertransformen för L^p-funktioner eftersom $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ är en tät delmängd i $L^{p}(\mathbb {R} )$.

Dessutom, med detta kan man visa att det finns $C_{p}>0\,$ så att om $f\in L^{p}$ så är

$\|Hf\|_{p}\leq C_{p}\|f\|_{p}$.

Därför är H en begränsad operator $L^{p}\rightarrow L^{p}$.

Kan man även visa detta för generella singulära integraloperatorer? Tb-satsen förklarar att det går.

Antaganden

Inom Tb-satsen behövs några antaganden om testfunktionerna $b_{1}$ och $b_{2}$, kärnan K och operatoren T.

Para-akkretivt antagande för testfunktionen

Låt $b:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ vara en lokalt integrebar funktion. Man sägar att b är en para-akkretiv funktion om det finns $\delta >0\,$ så att

${\frac {1}{|Q|}}\left|\int _{Q}b\right|\geq \delta$

för alla kuber $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ där integralen är Lebesgueintegralen och |Q| är kubens Q:s Lebesguemått.

Standardvillkor för kärnan

En kärna $K\,$ är en Calderón-Zygmund kärna om det uppfyller standardvillkoren:

• Begränsadvillkor: det finns $C>0\,$ så att

$|K(x,y)|\leq {\frac {C}{|x-y|^{n}}}$

för alla $x\neq y$.

• Tillväxtvillkor: det finns $C>0\,$ och $\alpha >0\,$ så att

$|K(x+h,y)-K(x,y)|+|K(x,y+h)-K(x,y)|\leq {\frac {C|h|^{\alpha }}{|x-y|^{n+\alpha }}}$

för alla $|h|<{\frac {1}{2}}|x-y|$.

Svagt begränsat-villkor för operatorer

Låt $b_{1},b_{2}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ vara para-akkretiva funktioner. En linjär operator T är $(b_{1},b_{2})\,$-svagt begränsat om det finns $C>0\,$ så att

$\left|\int \chi _{Q}b_{2}T(\chi _{Q}b_{1})\right|\leq C|Q|$

för alla kuber $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$.

Begränsad med mellansvängning (rummet BMO)

Man behöver också funktioner som är begränsade med mellansvängning. En lokalt integrebar funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ är begränsad med mellansvängning (eng. Bounded with Mean Oscillation) om det finns $C>0\,$ så att

${\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}\left|f(x)-{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}f\right|dx\leq C$

för alla kuber $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$. Om en funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ är begränsad med mellansvängning skriver man

$f\in {\mbox{BMO}}(\mathbb {R} ^{n}).$

Tb-satsen

Låt $b_{1},b_{2}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ vara para-akkretiva funktioner, dessa kallas testfunktioner. Låt $T\,$ vara en integraloperator som har en Calderón-Zygmund kärna. Antag att $T\,$ är definierad för $b_{1}\,$ och dessutom $T\,$:s transponat $T^{*}\,$ är definierad för $b_{2}\,$.

Då är $T\,$ en begränsad operator $L^{p}\rightarrow L^{p}$ om och endast om

• $T\,$ är $(b_{1},b_{2})\,$-svagt begränsad,
• $Tb_{1}\in {\mbox{BMO}}(\mathbb {R} ^{n})\,$ och
• $T^{*}b_{2}\in {\mbox{BMO}}(\mathbb {R} ^{n})\,.$

Skiss av bevis

Idén är att första prova Tb-satsen så att vi har en begränsad operator $T:L^{2}\rightarrow L^{2}$. Det här är den kritiska andelen för det här provet. Nämligen, när vi har $T:L^{2}\rightarrow L^{2}$ det är lätt att prova $T:L^{p}\rightarrow L^{p}$ för fixt $1<p<\infty \,$ eftersom vi kan interpolera med Cotlars olikheten för $1<p<2\,$ och sedan använda dualhetet för $2<p<\infty$.

Nuförtiden finns många olika bevis för $T:L^{2}\rightarrow L^{2}$. En prov är att vi använder dyadisk kuber:

Om $k\in \mathbb {Z}$ så är $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ en dyadisk kub med ordning k, om där finns ${\overline {m}}\in \mathbb {Z} ^{n}$ så att

$Q=[0,2^{k}[^{n}\,+\,2^{k}{\overline {m}}\,.$

Vi betecknar ${\mathcal {D}}_{k}$ av familj av alla dyadisk kuber med ordning k i $\mathbb {R} ^{n}$ och

${\mathcal {D}}:=\bigcup _{k\in \mathbb {Z} }{\mathcal {D}}_{k}.$

För varje $k\in \mathbb {Z}$ dyadiska kuber med ordning k är en stratifiering av $\mathbb {R} ^{n}$ och vi har:

$Q,Q'\in {\mathcal {D}}_{k}\quad \Rightarrow \quad Q\cap Q'=\emptyset \quad \lor \quad Q\subset Q'\quad \lor \quad Q'\subset Q.$

Vi har en begränsad operator $T:L^{2}\rightarrow L^{2}$ om och endast om vi kan bevisa att

$\|Tf\|_{2}\leq C\|f\|_{2}\,$

för alla $f\in L^{p}$. Eftersom $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ är en Hilbertrummet med inre produkten

$\langle f,g\rangle :=\int _{\mathbb {R} ^{n}}fg$

så man kan använda inom funktionalanalys så att

$\|Tf\|_{2}=\sup\{|\langle g,Tf\rangle |:g\in L^{2},\|g\|_{2}\leq 1\}\,.$

Därför, vi måste använda att

$|\langle g,Tf\rangle |\leq C\|f\|_{2}\|g\|_{2}$

för alla $g\in L^{2}\,$ och $\|g\|_{2}\leq 1\,.$

För $k\in \mathbb {Z}$ och en para-akkretiv funktion $b:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ definiera sannolikhetsteoretiska begrepper "väntevärder" och "spridninger":

• k-väntevärde: $\mathbb {E} _{k}f:=\sum _{Q\in {\mathcal {D}}_{k}}\left({\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}f\right)\chi _{Q}$
• k-spridning: $\mathbb {D} _{k}f:=\mathbb {E} _{k-1}f-\mathbb {E} _{k}f$
• b-viktad k-väntevärde: $\mathbb {E} _{k}^{b}f:=b{\frac {\mathbb {E} _{k}f}{\mathbb {E} _{k}b}}$
• b-viktad k-spridning: $\mathbb {D} _{k}^{b}f:=\mathbb {E} _{k-1}^{b}f-\mathbb {E} _{k}^{b}f$

Med Carlesons inbäddningsats vi kan visa att

$f=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {D} _{k}^{b}f$

för $f\in L^{2}\,$ med konvergens vid $L^{2}$-norm. Med svagt begränsat-villkor och standardvillkor man kan visa att för $g\in L^{2}\,$ med $\|g\|_{2}\leq 1\,$ vi har

$|\langle g,Tf\rangle |=\left|\sum _{k\in \mathbb {Z} }\langle g,[(\mathbb {E} _{k}^{b_{2}})^{*}T\mathbb {D} _{k}^{b_{1}}+(\mathbb {D} _{k}^{b_{2}})^{*}T\mathbb {E} _{k}^{b_{1}}+(\mathbb {D} _{k}^{b_{2}})^{*}T\mathbb {D} _{k}^{b_{1}}]f\rangle \right|.$

Å andra sidan för en para-akkretiv funktion b, en dyadisk kub $Q\in {\mathcal {D}}_{k}$, $Q=\bigcup _{u=1}^{2^{n}}Q_{u}$, var $Q_{u}\in {\mathcal {D}}_{k-1}$, och $1\leq u\leq 2^{n}$ definirar vi en Haarfunktion $\varphi _{Q,u}^{b}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ så att

$\phi _{Q,u}^{b}(x):={\sqrt {\frac {\int _{Q_{u}}b\int _{\cup _{p=u+1}^{2^{n}}Q_{p}}b}{\int _{\cup _{p=u}^{2^{n}}Q_{p}}b}}}\left({\frac {\chi _{Q_{u}}(x)}{\int _{Q_{u}}b}}-{\frac {\chi _{\cup _{p=u}^{2^{n}}Q_{p}}(x)}{\int _{\cup _{p=u}^{2^{n}}Q_{p}}b}}\right)$

• Med Haarfunktioner man kan använda b-viktad k-väntevärder och -spridningar så att man har:

$\left|\sum _{k\in \mathbb {Z} }\langle \mathbb {D} _{k}^{b_{2}}g,T\mathbb {D} _{k}^{b_{1}}f\rangle \right|\leq C_{3}\|f\|_{2}\|g\|_{2}.$

• Med BMO-rummets tillämpningar, paraprodukter, Carlesons inbäddningsats och liten dyadisk analys man har:

$\left|\sum _{k\in \mathbb {Z} }\langle \mathbb {E} _{k}^{b_{2}}g,T\mathbb {D} _{k}^{b_{1}}f\rangle \right|\leq C_{1}\|f\|_{2}\|g\|_{2}.$

• Förra är symmetrisk med $\langle \mathbb {D} _{k}^{b_{2}}g,T\mathbb {E} _{k}^{b_{1}}f\rangle$, dvs man har:

$\left|\sum _{k\in \mathbb {Z} }\langle \mathbb {D} _{k}^{b_{2}}g,T\mathbb {E} _{k}^{b_{1}}f\rangle \right|\leq C_{2}\|f\|_{2}\|g\|_{2}.$

Därför vi har med triangelolikheten att

$|\langle g,Tf\rangle |\leq \max\{C_{1},C_{2},C_{3}\}\|f\|_{2}\|g\|_{2}$,

dvs Tb-satsen.

Tillämpningar

• Hilberttransformen $Hf\,,$

$Hf(x)=\int {\frac {f(y)}{x-y}}\,dy$ ,

är en begränsad operator $L^{p}\rightarrow L^{p}$ eftersom man kan testa Hilbertransformen med para-akkretiva testfunktioner

$b_{1}=b_{2}=1\,.$

• Cauchytransformen ${\mathcal {C}}_{\Gamma }f\,,$

${\mathcal {C}}_{\Gamma }f(x):=\int {\frac {f(y)}{x-y-i(\Gamma (x)-\Gamma (y))}}\,dy$,

är en begränsad operator $L^{p}\rightarrow L^{p}$ eftersom man kan testa Cauchytransformen med para-akkretiva testfunktioner

$b_{1}=b_{2}=1+i\Gamma '\,.$

Här $\Gamma :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,$ är en Lipschitzfunktion vilket ger att derivatan $\Gamma '\,$ finns nästan överallt.

Se även

• Harmonisk analys
• Funktionalanalys

Referenser

• Guy David, Jean-Lin Journé, Stephen Semmes, Opérateurs de Calderón-Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation, Rev. Mat. Iberoamericana 1(4): 1 - 56, 1985.