Mätbar funktion
En mätbar funktion är inom matematiken en speciell sorts funktion mellan mätbara rum som bevarar mätbarheten.
Formell definition redigera
Låt och vara mätbara rum.
En funktion är mätbar om
för alla .
Man kan också säga att en funktion är -mätbar eller -mätbar.
Notera att man inte behöver ha något mått definierat på rummen för att avgöra om en funktion är mätbar.
Lebesguemätbar funktion redigera
Om kan man också säga att en mätbar funktion är Lebesguemätbar.
Borelfunktion redigera
Låt
Om X är ett topologiskt rum, och så kallas en mätbar funktion
för Borelfunktion.
Eftersom Borelmängder är genererad av öppna mängder kan man bevisa att en funktion är en Borelfunktion om och endast om
- , och .
är Borelmängder för alla öppna mängder
Alternativt, en funktion är en Borelfunktion om och endast om
är Borelmängder för alla .
Exempel redigera
Alla kontinuerliga funktioner i är Lebesguemätbara och Borelfunktioner.
Se även redigera
Den här artikeln ingår i boken: Måtteori |
Källor redigera
- G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)