Transponat

Inom linjär algebra är transponatet av en matris A en matris betecknad A^T. A^T kan beräknas på flera ekvivalenta sätt:

• Låt A:s rader bilda A^T:s kolonner.
• Låt A:s kolonner bilda A^T:s rader.
• Bilda A^T genom att reflektera A:s element i huvuddiagonalen.

Transponatet A^T av en matris A fås bland annat genom att reflektera A:s element i huvuddiagonalen. Repetera processen för att få tillbaka utgångsmatrisen.

Om a_ij är elementet på rad i, kolonn j i A ges elementen i A^T av:

$a_{ij}^{T}=a_{ji}$.

Exempel

${\begin{pmatrix}1&2&1\\3&5&7\\9&7&3\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&3&9\\2&5&7\\1&7&3\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1&7&5\\2&3&0\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&2\\7&3\\5&0\end{pmatrix}}$

Egenskaper

Om A och B är matriser och c en skalär, så har man följande egenskaper:

• Transponatet är en involution:

$(A^{T})^{T}=A\,$

• Transponatet är en linjär avbildning:

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\,$

$(cA)^{T}=cA^{T}\,$

• Vid transponering av en produkt av matriser vänder man på ordningen:

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\,$

• Determinanten är invariant för transponering:

$\det(A^{T})=\det A\,$

• Om $A$ är inverterbar är transponatet av inversen lika med inversen av transponatet:

$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}\,$

• Om $A$ endast har reella tal som element är $A^{T}A$ en positivt semidefinit matris.

Speciella matriser

Om D är en diagonalmatris är D^T = D.

En symmetrisk matris är en matris där

$A=A^{T}\,.$

En skevsymmetrisk matris är en matris där

$A=-A^{T}\,.$.

En ortogonal matris är en matris vars transponat är dess invers:

$A^{T}A=AA^{T}=I\,$

$A^{T}=A^{-1}\,.$

Se även

• Hermiteskt konjugat