Teleskoperande serie

Teleskoperande serie eller teleskopsumma är en matematisk serie med egenskapen att nästan alla termer tar ut varandra när serien summeras. Låt $(a_{n})_{n=1}^{\infty {}}$ vara en talföljd. En teleskoperande summa är en summa på formen

$\sum _{n=1}^{m}a_{n}-a_{n+1}$.

Ett enkelt induktionsbevis visar att

$\sum _{n=1}^{m}a_{n}-a_{n+1}=a_{1}-a_{m+1}$.

Om vi dessutom antar att $\lim _{n\rightarrow {}\infty }a_{n}=L$ får vi

$\sum _{n=1}^{\infty {}}a_{n}-a_{n+1}=\lim _{m\rightarrow {}\infty {}}\sum _{n=1}^{m}a_{n}-a_{n+1}=\lim _{m\rightarrow {}\infty {}}a_{1}-a_{m+1}=a_{1}-L$

varav summan är konvergent och lika med $a_{1}-L$.

Ett enkelt exempel är serien

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}=\lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+...+{\frac {1}{N(N-1)}}$

där man kan skriva om varje term enligt

${\frac {1}{n(n-1)}}={\frac {n-(n-1)}{n(n-1)}}={\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}$.

Genom att sätta in detta i serien får man nu

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}=\lim _{N\rightarrow \infty }1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+...+{\frac {1}{N-1}}-{\frac {1}{N}}=\lim _{N\rightarrow \infty }1-{\frac {1}{N}}=1$.