Steinberggrupp (K-teori)

Inom algebraisk K-teori, ett delområde av matematiken, är Steinberggruppen, uppkallad efter Robert Steinberg, $\operatorname {St} (A)$ av en ring $A$ den universala centralutvidgningen av kommutatordelgruppen av den stabila allmänna linjära gruppen av $A$.

Den är relaterad till lägre $K$-grupper, speciellt $K_{2}$ och $K_{3}$.

Relation till $K$-teori

$K_{1}$

${K_{1}}(A)$ är konollrummet av avbildningen $\varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)$, ty $K_{1}$ är abeliseringen av ${\operatorname {GL} _{\infty }}(A)$ och avbildningen $\varphi$ är surjektiv till kommutatordelgruppen.

$K_{2}$

${K_{2}}(A)$ är centret av Steinberggruppen. Detta var Milnors definition, och den följer även ur den mer allmänna definitionen på högre $K$-grupper.

Den är även nollrummet av avbildningen $\varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)$. Faktiskt finns det en exakt följd

$1\to {K_{2}}(A)\to \operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)\to {K_{1}}(A)\to 1.$

Ekvivalent är den Schurmultiplikatorn av gruppen av elementära matriser, så den är även en homologigrupp: ${K_{2}}(A)={H_{2}}(E(A);\mathbb {Z} )$.

$K_{3}$

Gersten (1973) bevisade att ${K_{3}}(A)={H_{3}}(\operatorname {St} (A);\mathbb {Z} )$.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Steinberg group (K-theory), 1 november 2014.

• Gersten, S. M. (1973), ”$K_{3}$ of a Ring is $H_{3}$ of the Steinberg Group”, Proceedings of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 37 (2): 366–368, doi:10.2307/2039440 

• Milnor, John Willard (1971), Introduction to Algebraic $K$-theory, Annals of Mathematics Studies, "72", Princeton University Press 

• Steinberg, Robert (1968), Lectures on Chevalley Groups, Yale University, New Haven, Conn., arkiverad från ursprungsadressen den 2012-09-10, https://web.archive.org/web/20120910032654/http://www.math.ucla.edu/~rst/