Simplexmetoden eller simplexalgoritmen är en metod inom optimeringsläran för att effektivt lösa linjärprogrammeringsproblem. Metoden uppfanns av den amerikanske matematikern George Dantzig och är i dag den i särklass mest använda algoritmen för att lösa LP-problem och som nästan helt dominerar den kommersiella marknaden.

Simplexmetoden

Enligt linjärprogrammeringens fundamentalsats erhålles alltid optimum i minst en hörnpunkt till den tillåtna mängden och dessa hörn motsvaras av en (eller i det degenererade fallet flera) baslösningar. Simplexmetoden söker den bästa lösningen genom att systematisk flytta sig från en baslösning till en annan närliggande på ett sådant sätt att målfunktionsvärdet förbättras. Den söker inte igenom samtliga hörnpunkter då det även för förhållandevis "små" LP-problem finns oerhört många, men eftersom problemet är konvext kommer den hörnpunkt för vilka ingen närliggande hörnpunkt har ett bättre målfunktionsvärde att vara optimallösningen till problemet.

BasbytenRedigera

Givet en tillåten baslösning   till ett LP-problem kan en sökriktning   bestämmas för varje icke-basvariabel. Riktningen svarar mot att variabeln i fråga tillåts växa och övriga variblers värden erhålls ur bivillkoren för den tidigare icke-basvariabel som tillåts bli nollskild och som kallas för ingående basvariabel.

Om det tillåtna området är begränsat finns det en största steglängd   för vilken den nya punkten   är en tillåten punkt (det vill säga alla variabler  ); den variabel som först når noll begränsar steglängden och kallas utgående basvariabel. Om   och   väljs på detta sätt i varje iteration kommer den nya lösningen   att vara en tillåten baslösning. Att på detta sätt röra sig mellan olika lösningar kallas för basbyte.

Simplexmetoden itererar på samma sätt mellan tillåtna baslösningar med det tillägget att sökriktningen endast får väljas så att målfunktionen förbättras (inte sällan finns flera alternativ, det har då visat sig lämpligt att välja den riktning som snabbast förbättrar målfunktionen; man säger att den har bäst reducerande kostnad, det är emellertid inte garanterat att det ger den enklaste lösningen).

Eftersom målfunktionen ständigt förbättras och antalet baslösningar är ändligt (om än stort), är det säkert att simplexmetoden finner lösningen.

För att lösa ett generellt LP-problem måste det först överföras till standardform och därefter måste en tillåten baslösning identfieras.

AlgoritmenRedigera

  • (Försteg) Börja med en tillåten baslösning   och sätt iterationsräknaren k till 0.
  • (Steg 1) Beräkna reducerande kostnader för alla icke-basvariabler eventuellt genom omskrivning av målfunktionen.
  • Sätt den variabel med bäst reducerande kostnad till inkommande variabel. Om ingen förbättrande variabel finns är lösningen funnen.
  • Beräkna sökriktning   och bestäm steglängden   till det största tal för vilket   är en tillåten lösning. (om t tillåts gå mot oändligheten har problemet obegränsad bra lösning).
  • Sätt   och stega vidare med k := k+1 och gå till steg 1.

ExempelRedigera

 
Ett mycket litet exempel på ett LP-problem

Betrakta LP-problemet

Maximera  
 Bivillkor 1
 Bivillkor 2
 

som kan överföras på standarform genom introduktion av slackvariablerna   och   enligt

Maximera  
 
 
 

Vi kan enkelt identifiera ur figuren att   är en tillåten lösning som ger upphov till ekvationssystemet

 
 

vilket ger upphov till baslösningen där   är basvariabler lika med 6 respektive 2 och   är icke basvariabler ( = 0).

Ur målfunktionen kan vi utläsa att en ökning av   innebär en ökning av z med 4 enheter samt att motsvarande värde för   är ett (de reducerande kostnaderna är 4 respektive 1). Eftersom båda icke-basvariabler ger förbättrande sökrikningar väljs den snabbaste förbättringen och således väljs   som inkommande basvariabel.

Ur omskrivningen av bivillkoren erhålles

 
 

Vilket motsvarar en sökriktning längs  ,   = [1 0 -2 -1]

och vi ser att   först kommer att nå noll när   ökar (detta sker för   ) det vill säga att   blir utgående basvariabel och vår nya baslösning blir att   är basvariabler lika med 4 respektive 2 och att   är icke-basvariabler ( = 0).

Inför nästa iteration måste målfunktionen uttryckas i icke-basvariabler (så att vi kan se hur de påverkar) , vilket görs med hjälp av ekvationerna i bivillkoren.

 

Här erhålles att   genererar en förbättrande riktning medan   inte gör det. Vi kan också se att optimallösningen kommer att vara minst 8 eftersom det är en konstantterm i målfunktionen, vilket i sig inte är ett viktigt resultat men bra för senare kontroll.

Proceduren upprepas och vi når i  ,  ,   och en omskrivning av målfunktion ger

 

Här kan ingen förbättrande sökriktning hittas (om   eller   ökar minskar z), vilket innebär att baslösningen är optimalösningen och att funktionsvärdet är 8,667.

KällorRedigera

  • Lundgren, Jan & Rönnqvist, Mikael & Värbrand Peter: Optimeringslära, 2003, upplaga 3:1. ISBN 978-91-44-05314-1.