Moultonplanet

Inom incidensgeometri är Moultonplanet ett exempel på ett affint plan i vilket Desargues sats inte gäller. Det är uppkallat efter den amerikanske astronomen Forest Ray Moulton. Punkterna på Moultonplanet är helt enkelt punkterna i det reella planet R² och linjerna är de vanliga linjerna med undantaget att linjer med negativ riktningskoefficient fördubblar denna när de "passerar" y-axeln (det vill säga då x-värdena är positiva).

Moultonplanet. Linjer som lutar neråt mot höger knäcks när de korsar y-axeln.

Formell definition

Moultonplanet är en incidensstruktur ${\mathfrak {M}}=\langle P,G,{\textrm {I}}\rangle$ i vilken $P$ betecknar mängden av punkter, $G$ mängden av linjer och ${\textrm {I}}$ incidensrelationen "ligger på":

$P:=\mathbb {R} ^{2}\,$

$G:=(\mathbb {R} \cup \{\infty \})\times \mathbb {R} ,$

$\infty$ är bara en formell symbol för ett element $\not \in \mathbb {R}$. Det används för att beskriva lodräta linjer, vilka man kan tänka sig som linjer med oändligt stor lutning (oändlig riktningskoeffecient).

Incidensrelationen definieras som följer:

För p = (x, y) ∈ P och g = (m, b) ∈ G har vi

$p\,{\textrm {I}}\,g\iff {\begin{cases}x=b&{\text{om }}m=\infty \\y={\frac {1}{2}}mx+b&{\text{om }}m\leq 0,x\leq 0\\y=mx+b&{\text{om }}m\geq 0{\text{ eller }}x\geq 0.\end{cases}}$

Användning

Moultonplanet är ett affint plan i vilket Desargues sats inte gäller. Det tillhörande projektiva planet är som en konsekvens härav inte heller Desargueskt. Detta betyder att det finns projektiva plan som inte är isomorfa med $PG(2,F)$ för någon (skev)kropp F. Här är $PG(2,F)$ det projektiva planet $P(F^{3})$ som bestäms av ett tredimensionellt vektorrum.

Referenser

• Beutelspacher, A Rosenbaum, U., 1998,Projective Geometry: From Foundations to Applications, ISBN 0-521-48277-1, sid. 76-77.
• Moulton, Forest Ray (1902), ”A Simple Non-Desarguesian Plane Geometry”, Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society) 3 (2): 192–195, ISSN 0002-9947, http://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/moulton/a_simple_non-desarguesian_geometry.pdf