Mittpunktsformeln

Mittpunktsformeln är en matematisk ekvation. Om man har två punkter, P₁ och P₂ som kan ligga var som helst i ett koordinatsystem, anger mittpunktsformeln ett sätt att få fram den punkt som ligger mitt emellan P₁ och P₂. Om O betecknar origo och vi kallar den eftersökta punkten mitt emellan P₁ och P₂ för M är formeln:

Illustration av mittpunktsformeln. P₁ och P₂ är godtyckliga punkter i ett koordinatsystem, och M är en punkt som ligger exakt mitt emellan dem. O betecknar origo.

${\overrightarrow {OM}}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {OP_{1}}}+{\overrightarrow {OP_{2}}})$

Eftersom origos koordinater är 0 så blir koordinaterna för M lika med ${\overrightarrow {OM}}$.

Bevis

Med hjälp av vektoraddition kan man skriva ${\overrightarrow {OM}}$ som

${\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OP_{1}}}+{\overrightarrow {P_{1}M}}$

${\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OP_{1}}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}$. Vi ser att ${\overrightarrow {P_{1}M}}$ är lika med ${\frac {1}{2}}{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}$, eftersom M är mittpunkt på ${\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}$ enligt definitionen på problemet.

${\overrightarrow {OP_{2}}}$ kan vi beskriva som:

${\overrightarrow {OP_{2}}}={\overrightarrow {OP_{1}}}+{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}$. Löser vi ut ${\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}$ får vi:

${\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}={\overrightarrow {OP_{2}}}-{\overrightarrow {OP_{1}}}$

Om vi insätter detta i formeln vi hade förut får vi:

${\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OP_{1}}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}={\overrightarrow {OP_{1}}}+{\frac {1}{2}}({\overrightarrow {OP_{2}}}-{\overrightarrow {OP_{1}}})={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {OP_{1}}}+{\overrightarrow {OP_{2}}})$