Maximum-minimumidentiteterna

Inom matematiken är maximum-minimumidentiteterna en relation mellan det maximala elementet av en mängd S av n tal och de 2ⁿ - 1 icke-tomma delmängderna av S, samt en likadan identitet där rollerna av max och min är ombytta.

Låt S = {x₁, x₂, ..., x_n}. Då säger identiteten att

${\begin{aligned}\max\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}-\sum _{i<j}\min\{x_{i},x_{j}\}+\sum _{i<j<k}\min\{x_{i},x_{j},x_{k}\}-\cdots \\&\qquad \cdots +\left(-1\right)^{n+1}\min\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\},\end{aligned}}$

och

${\begin{aligned}\min\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}-\sum _{i<j}\max\{x_{i},x_{j}\}+\sum _{i<j<k}\max\{x_{i},x_{j},x_{k}\}-\cdots \\&\qquad \cdots +\left(-1\right)^{n+1}\max\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}.\end{aligned}}$

Se även

• Principen om inklusion/exklusion

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Maximum-minimums identity, 27 januari 2014.

• Ross, Sheldon (2002). A First Course in Probability. Englewood Cliffs: Prentice Hall. ISBN 0-13-033851-6