Inom matematiken är en linjär avbildning (även kallad linjär transformation och linjär operation) en särskild sorts avbildning som bevarar identitet och invers mellan två vektorrum.

Ett exempel på en linjär transformation i två dimensioner.
Ett exempel på en linjär transformation i två dimensioner. Observera hur basvektorerna transformeras med matrisen.

Definition

redigera

En linjär avbildning   är en avbildning som för vektorer   och skalärer   uppfyller följande egenskaper

  • homogen: 
  • additiv: 

Dessa två krav skrivs ibland ihop till ett krav:

  •  

En direkt följd av definitionen är att   om   är en linjär avbildning.

Exempel

redigera

Exempel på linjära avbildningar är

Exempel på avbildningar som inte är linjära är

  • För reella tal:   och  . Ibland missuppfattas den senare avbildningen som "linjär", därför att dess funktionsgraf är en linje. Denna egenskap gör dock bara funktionen till en affin avbildning.

Avbildningsmatriser

redigera

Som nämnts ovan kan matriser representera avbildningar. Här är några exempel på avbildningar  :

 
  • Skalning två gånger i alla riktningar:
 
  • Rotation med vinkeln   moturs:
 
 

Tillämpningar

redigera

Linjära transformationer användas bland annat för att skapa linjära fraktaler som till exempel von Kochs kurva. För att genomföra detta så brukas ett itererat funktionssystem (IFS) som består av två eller flera linjära transformationer av samma eller olika typ.

Externa länkar

redigera