L'Hôpitals regel är en matematisk metod som kan göra det enklare att beräkna vissa gränsvärden. Den har fått sitt namn efter den franske matematikern Guillaume François Antoine l'Hôpital.

HistorikRedigera

Markis Guillaume François Antoine l'Hôpital utbildades i matematisk analys, den så kallade Leibnizskolan av analysen, av Johann Bernoulli under dennes tid i Paris 1692. När Bernoulli skulle resa så ingick han i ett avtal med l'Hôpital om att han i utbyte mot en årslön på 300 franc skulle delge alla sina upptäckter till markisen, att använda som denne önskade.[1]

1696 gav l'Hôpital ut en bok i matematisk analys kallad Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (ungefär Analysen av de minsta delarna för förståelse av de böjda linjerna) där bland annat regeln som kom att kallas l'Hôpitals regel fanns nedskriven. Mycket i boken hade l'Hôpital fått hjälp med av både Bernoulli och Leibniz [2] och i boken tackade han speciellt "den unge professorn vid Groningen" (vilket Bernoulli hade blivit utnämnd till 1695), Bernoulli tackade l'Hôpital för denna omnämning per brev, men anklagade honom för plagiat kort efter dennes död. Samtida matematiker fann Bernoullis anklagelser för ogrundade, men i efterhand har brevkorrespondens hittats som tyder på att l'Hôpital hade fått mycket av matematiken från Bernoulli.

SatsenRedigera

Låt f och g vara två funktioner   med följande egenskaper i närheten av ett fixerat reellt tal  .

  •  , alternativt  .
  • Derivatorna   och   existerar på två öppna intervall   och   och derivatan   har konstant tecken på vardera intervall.
  • Gränsvärdet   existerar.

Då gäller följande ekvation:

 .

Satsen gäller även om det fixerade talet   är det "reella talet"   eller  . [3]

BevisRedigera

Beviset av l'Hopitals regel är en tillämpning av Cauchys medelvärdessats, som säger att om   och   är två deriverbara funktioner på intervallet  , och derivatan av   är skild från noll på intervallet, så finns det ett tal  , sådant att

 .

För fallet "oändligheten delat med oändligheten"Redigera

Vi tittar på två punkter   och   sådana att   eller  . Vi vet då genom medelvärdessatsen att vi kan beskriva derivatan som:

  för ett   eller  .

Vi kan då skriva om uttrycket till

 

Om vi sedan låter y gå mot c så att   går mot sitt gränsvärde och att   för alla   mellan   och  .

Härnäst låter vi   och ser därmed att uttrycket antar formen

 

För fallet "noll delat med noll"Redigera

Vi definierar   detta förändrar inte ekvationen. Vi tittar därefter på en punkt   nära   och vi ser då att enligt satsen om mellanliggande värde så kan vi skriva om ekvationen på formeln:

 

då kan vi även skriva att

 

vilket bevisar regeln.

Inte ett bevisRedigera

L'Hôpitals regel kan inte användas för att bevisa ett gränsvärde då man redan innan måste veta uttryckets gränsvärde.

Detta faktum visas bäst med ett exempel:

 

Vi vet att då gränsvärdet är ett standardgränsvärde att det konvergerar till värdet 1 samt att båda funktionerna går mot noll och att de är deriverbara.

Vi använder l'Hôpitals regel och får   vilket vi vet konvergerar mot värdet 1, men vad händer om vi tittar lite närmare på exemplet?

Derivatan av   är enligt derivatans definition

 

vilket, då   går mot noll, blir

 

och vi är därmed tillbaka i samma problem som tidigare.

Detta leder till en logisk cirkularitet (beviset hänvisar till sig självt) och leder därmed till att det är inkorrekt. L'Hôpitals regel är därmed endast en minnesregel.

ExempelRedigera

För att illustrera hur regeln tillämpas kan vi titta på lite exempel:

 

Detta kan vi räkna ut med Maclaurinutvecklingen (Taylorutvecklingen runt noll) genom variabelsubstitutionen  .

Detta ger oss:

 

Vi kan sedan tillämpa att   för att få uttrycket

 .

För att skriva om uttrycket på en enklare form använder vi oss sedan av Maclaurinutvecklingen av grad 3 för sinus.

Maclaurinutvecklingen för sinus ser ut som:

 

det vill säga

 

Detta ger oss följande uttryck:

 

som vi sedan kan binomialutveckla till

 

som sedan skrivs om till

 

Gränsvärdet går alltså mot 0 då x går mot 0.

Om vi istället skulle försöka lösa problemet med l'Hôpitals regel ser vi att alla krav är uppfyllda, så vi kan skriva:

 

Vilket är betydligt smidigare att räkna ut (förutsatt att vi vet derivatan av  )

Exempel då regeln inte kan tillämpasRedigera

Det finns dock ett antal tillfällen då regeln inte kan tillämpas, till exempel då man inte har tillgång till en funktions derivata. Det finns dessutom ett antal gränsvärden som det inte går att tillämpa l'Hôpitals regel på med anledning av att detta får sagda funktion att "gå i cirklar" (oscillera mellan två värden) eller resulterar i ett felaktigt värde.

Ett exempel:

 

Vi ser att alla förutsättningar är uppfyllda så vi tillämpar l'Hôpitals regel och får:

 

Vi ser nu att vidare uträkningar med hjälp av l'Hôpitals regel är av ringa värde.

ReferenserRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia.

NoterRedigera

  1. ^ Carl B. Boyer. A history of great mathematics, sid. 460–494
  2. ^ Cal B. Boyer: The history of calculus, sid 226-241
  3. ^ Eriksson, F., Larsson, E. och Wahde, G., Matematisk analys med tillämpningar

KällorRedigera

  • Råde, L. och Westergren, B., BETA Mathematics handbook, 2ed, 1990, Studentlitteratur, sid. 123