Kramers–Kronig-relationerna

Kramers–Kronig-relationerna är två matematiska relationer som måste gälla mellan real- och imaginärdelen av Fouriertransformen av en linjär responsfunktion $\chi (t)$ som uppfyller kausalitetskravet $\chi (t)=0$ för $t<0$.

Kausalitet innebär att responsfunktionen $\chi (t)$ måste uppfylla kravet $\chi (t)=0$ för $t<0$. Detta får följder även för den Fouriertransformerade responsfunktionen $\chi (\omega )$. Relationen mellan dem ges av

$\chi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}e^{-i\omega t}\chi (\omega ).$

Om $t<0$ kan integralen utvärderas genom en konturintegral som utsträcker sig i den övre halvan av det komplexa talplanet. Eftersom $\chi (t)=0$ för $t<0$, måste $\chi (\omega )$ sakna poler i den övre halvan av det komplexa talplanet.

Kausalitetskrav $\chi (\omega )$ är analytisk för ${\text{Im }}\omega >0$

Detta kausalitetskrav medför att $\chi '(\omega )$ och $\chi ''(\omega )$ inte är helt oberoende av varandra. Istället är de direkt relaterade till varandra genom de så kallade Kramers–Kronig-relationerna:

Kramers–Kronig-relationerna ${\text{Re }}\chi (\omega )={\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {d\omega '}{\pi }}{\frac {{\text{Im }}(\chi (\omega '))}{\omega '-\omega }}$ ${\text{Im }}\chi (\omega )=-{\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {d\omega '}{\pi }}{\frac {{\text{Re }}(\chi (\omega '))}{\omega '-\omega }}$

där ${\mathcal {P}}$ betecknar principalvärdet av integralen.