Geronos lemniskata
Geronos lemniskata, eller åttkurvan, är en plan fjärdegradskurva som ser ut som symbolen för oändlighet (∞) eller som en liggande åtta. Kurvan är sluten, x = 0 och y = 0 är symmetriaxlar och punkten (0,0) är symmetripunkt. Den har fått sitt namn efter den franske matematikern Camille-Christophe Gerono.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Lemniscate_of_Gerono-2.png/250px-Lemniscate_of_Gerono-2.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Lemniskata-2.png/250px-Lemniskata-2.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Lemniskata-3.png/250px-Lemniskata-3.png)
Alla punkter på kurvan uppfyller ekvationen
I polära koordinater blir kurvans ekvation
- .
Den kan också parametriseras:
Kurvans area är:
Konstruktion
redigeraDet finns flera sätt att konstruera kurvan med passare och rätskiva:[2]
- Man väljer en punkt P som vandrar på cirkeln med radien a. Punkten M är P:s projektion på linjen med ekvationen x = 1. Linjen OM korsar den vertikala linjen som passerar P, vilket ger punkten N på lemniskatan.
- Man väljer en punkt P som vandrar på cirkeln med radien a och centrum O och ritar en cirkel med diameter a och centrum Q som tangerar den stora cirkeln inifrån. Linjen OP möter den lilla cirkeln vid O och M. Den horisontella linjen som passerar M korsar den vertikala linjen som passerar P, vilket ger punkten N på lemniskatan.
Referenser
redigera- Wikimedia Commons har media som rör Geronos lemniskata.
Noter
redigera- ^ F. Kirwan (1992). Complex Algebraic Curves. Cambridge University Press. sid. 23. ISBN 0521423538
- ^ ”Mathcurve” (på franska). http://www.mathcurve.com/courbes2d/gerono/gerono.shtml. Läst 10 november 2009.
Källor
redigera- J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. sid. 124. ISBN 0-486-60288-5