Eulerkarakteristik

Eulerkarakteristisken är en topologisk invariant i form av ett tal. Den introducerades av Euler när han studerade konvexa polyedrar. Han noterade att uttrycket $v-e+r$, där $v$ betecknar antalet hörn, $e$ antalet kanter, och $r$ antalet regioner (områden på polyedern som begränsas av sidor), är lika med $2$ oavsett vilken polyeder som betraktas. Exempelvis har en kub 8 hörn, 12 kanter, och 6 regioner. Eulerkarakteristiken för kuben är därför 8 - 12 + 6 = 2.

Definition

Att dimensionen för de tre klasserna hörn, kant, region, är 0, 1, respektive 2 i definitionen ovan, motiverar följande allmännare definition för ändliga CW-komplex $X$: $\chi =\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{i}k_{i}$, där $k_{n}$ är antalet n-dimensionella celler (topologiska rum homeomorfa till ett n-dimensionellt simplex) i CW-komplexet.

Egenskaper

Låt $A$ och $B$ vara delmängder av ett topologiskt rum. För eulerkarakteristiken $\chi (\cdot )$ gäller:

• $\chi (A\times B)=\chi (A)\cdot \chi (B)$
• $\chi (A\cup B)=\chi (A)+\chi (B)-\chi (A\cap B)$

Exempel

Torusen, liksom cirkeln, har eulerkarakteristik $0$. Det slutna intervallet $[0,1]$ har eulerkarakteristik $2$.