Inom matematiken är elementära matriser matriser som skiljer sig från enhetsmatrisen med avseende på en elementär radoperation. Matrismultiplikation av en matris med en elementär matris från vänster svarar mot en elementär radoperation och multiplikation från höger svarar mot en elementär kolumnoperation.
Ekvationssystemlösning
redigeraElementära radoperationer ändrar inte lösningsmängden till ett linjärt ekvationssystem, något som utnyttjas vid Gausselimination. Varje radoperation som används vid Gausselimination motsvaras av en elementär matris.
Radoperationer som elementära matriser
redigeraDet finns tre typer av elementära matriser som svarar mot tre olika elementära radoperationer:
- Radbyten, två rader byter plats:
- Radmultiplikation, en rad multipliceras med en konstant:
- Radaddition, en rad multipliceras med en konstant och adderas till en annan rad:
Radbytesmatriser
redigeraEn elementär matris som kastar om raderna i och j för en matris kan skrivas
Matrisen har ettor i diagonalen förutom för två rader där ettorna anger de rader som skall kastas om. fås genom att kasta om raderna i och j i motsvarande enhetsmatris.
Egenskaper
redigera- är sin egen invers då
Exempel
redigeraNedanstående elementära matris byter plats på rad 1 och rad 2 i en 3×n-matris:
Multiplikation med en 3×4-matris A:
Radmultiplikationsmatriser
redigeraEn elementär matris som multiplicerar en rad i med en konstant k kan skrivas
Matrisen kan bildas genom att rad i i motsvarande enhetsmatris multipliceras med k.
Egenskaper
redigera- Matrisen och dess invers är diagonal
Exempel
redigeraEn elementär matris som multiplicerar rad 2 i en 3×n-matris med 3 kan skrivas som
och multiplicerad med en 3×4-matris A
Radadditionsmatriser
redigeraEn matris som adderar rad j multiplicerad med m till rad i kan skrivas som
Matrisen kan bildas från en enhetsmatris genom att rad j adderas till rad i m gånger.
Egenskaper
redigera- Matrisen och dess invers är triangulär
Exempel
redigeraEn matris som subtraherar rad 1 multiplicerad med 2 från rad 3 för en 3×n-matris kan skrivas
och multiplicerad med en 3×4-matris A:
Se även
redigera