Diskret värdering

Inom matematiken är en diskret värdering en heltalsvärdering på en kropp K, d.v.s. en funktion

$\nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$

som satisfierar kraven

$\nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)$

$\nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}$

$\nu (x)=\infty \iff x=0$

för alla $x,y\in K$.

Notera att den triviala värderingen som bara tar värdena $0,\infty$ är explicit utlämnad.

En kropp med en icke-trivial diskret värdering säges vara en diskret värderingskropp.

Diskreta värderingsringar och värderingar på kroppar

Till varje kropp med en diskret värdering $\nu$ kan vi associera delringen

${\mathcal {O}}_{K}:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}$

av $K$, som är en diskret värderingsring. Omvänt kan värderingen $\nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$ på en diskret värderingsring $A$ utvidgas på ett unikt sätt till en diskret värdering på kvotkroppen $K={\text{Quot}}(A)$; den associerade diskreta värderingsringen ${\mathcal {O}}_{K}$ är helt enkelt $A$.

Exempel

• För ett fixerat primtal $p$ och för varje $x\in \mathbb {Q}$ övrigt än noll kan vi skriva $x=p^{j}{\frac {a}{b}}$ med $j,a,b\in \mathbb {Z}$ så att $p$ delar varken $a$ eller $b$. Då är $\nu (x)=j$ en diskret värdering på $\mathbb {Q}$, känd som den p-adiska värderingen.

• Givet en Riemannyta $X$ kan vi betrakta kroppen $K=M(X)$ av meromorfa funktioner $X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$. För en fixerad punkt $p\in X$ definierar vi en diskret värdering på $K$ på följande vis: $\nu (f)=j$ om och endast om $j$ är det största heltalet så att funktionen $f(z)/(z-p)^{j}$ kan utvidgas till en analytisk funktion vid $p$. Detta betyder att om $\nu (f)=j>0$ har $f$ en rot av ordning $j$ vid punkten $p$; om $\nu (f)=j<0$ har $f$ en pol av ordning $-j$ vid $p$. Likadant kan man definiera en diskret värdering på funktionskroppen av en algebraisk kurva för varje reguljär punkt $p$ på kurvan.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Discrete valuation, 2 mars 2015.

• Fesenko, Ivan B.; Vostokov, Sergei V. (2002), Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, "121" (Second), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2