Automorfisk faktor

Inom matematiken är en automorfisk faktor en viss slags analytiska funktioner definierade över delgrupper av SL(2,R) som förekommer inom teorin av modulära former.

Definition

En automorfisk faktor av vikt k är en funktion

$\nu :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C}$

som satisfierar fyra krav beskrivna nedan. Här betecknar $\mathbb {H}$ och $\mathbb {C}$ övre planhalvan och komplexa planet. $\Gamma$ är en delgrupp SL(2,R), exempelvis en Fuchsisk grupp. Ett element $\gamma \in \Gamma$ är en 2x2-matris

$\gamma =\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]$

med a, b, c, d reella tal med ad−bc=1.

En automorfisk faktor måste satisfiera:

1. För fixerat $\gamma \in \Gamma$ är funktionen $\nu (\gamma ,z)$ en analytisk funktion av $z\in \mathbb {H}$.

2. För alla $z\in \mathbb {H}$ och $\gamma \in \Gamma$ är

$\vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}$

för ett fixerat reellt tal k.

3. För alla $z\in \mathbb {H}$ och $\gamma ,\delta \in \Gamma$ är

$\nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z).$

4. Om $-I\in \Gamma$ har man för alla $z\in \mathbb {H}$ och $\gamma \in \Gamma$

$\nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z).$

Här är I enhetsmatrisen.

Egenskaper

Varje automorfisk faktor kan skrivas som

$\nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}$

med

$\vert \upsilon (\gamma )\vert =1$

Funktionen $\upsilon :\Gamma \to S^{1}$ kallas för multipelsystemet. Den har de lättbevisade egenskaperna

$\upsilon (I)=1$,

medan om $-I\in \Gamma$,

$\upsilon (-I)=e^{-i\pi k}.$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Automorphic factor, 17 mars 2013.

• Robert Rankin, Modular Forms and Functions, (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X. (Kapitel 3 handlar om automorfiska faktorer för modulära gruppen.)