Autokorrelation

Autokorrelationen för en stokastisk process beskriver korrelationen mellan processens olika tidpunkter.

Överst: sinus med brus; nederst: autokorrelation

Definition

För en tidskontinuerlig stokastisk process $X$ definieras autokorrelationsfunktionen $r_{X}$ som:

$r_{X}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})X(t_{2})]\,$

För en tidsdiskret stokastisk process $X$ definieras autokorrelationsfunktionen $r_{X}$ som:

$r_{X}(n_{1},n_{2})=E[X(n_{1})X(n_{2})]\,$

Om den stokastiska processen $X$ är svagt stationär beror autokorrelationen endast på skillnaden mellan $t_{1}$ och $t_{2}$ eller $n_{1}$ och $n_{2}$, och då skrivs autokorrelationsfunktionen som:

$r_{X}(\tau )=E[X(t)X(t+\tau )]$ respektive $r_{X}(k)=E[X(n)X(n+k)]$

Om autokorrelationen är noll för alla $\tau \neq 0$ eller $k\neq 0$ kallas $X$ för en vit process. Fourier-transformen av autokorrelationsfunktionen kallas för effektspektrum.

Estimering

Givet en serie mätdata $x_{n},\ n\in [0,N-1]$ genererad av en svagt stationär stokastisk process $X$ kan autokorrelationen estimeras på två sätt:

1. icke väntevärdesriktigt: ${\hat {r}}_{X}(k)={\begin{cases}{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-k}x(n)x(n+k)&k\geq 0\\{\hat {r}}_{X}(-k)&k<0\end{cases}}$
2. väntevärdesriktigt: ${\hat {r}}_{X}(k)={\begin{cases}{\frac {1}{N-k}}\sum _{n=0}^{N-k}x(n)x(n+k)&k\geq 0\\{\hat {r}}_{X}(-k)&k<0\end{cases}}$

I många sammanhang, till exempel för lösning av Yule–Walker-ekvationerna, föredras den icke väntevärdesriktiga varianten. Den väntevärdesriktiga kan då $k$ närmar sig $N$ anta orimligt stora värden.