Metrik av mått är en metrik mellan mått . Metrik av mått är en viktig struktur när man undersöker svag konvergens av mått.
Först behövs några definitioner för metriken.
Mängden av Radonmått är mängden av alla Radonmått i
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}
begränsade till Borelmängder
B
o
r
R
n
{\displaystyle \mathrm {Bor} \,\mathbb {R} ^{n}}
:
M
(
R
n
)
:=
{
μ
:
B
o
r
R
n
→
[
0
,
∞
]
|
μ
är ett Radonmått
}
.
{\displaystyle {\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{\,\mu :\mathrm {Bor} \,\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty ]\,\ |\,\ \mu {\mbox{ är ett Radonmått }}\right\}.\,}
Mängden av Lipschitzfunktioner är mängden av alla Lipschitzfunktioner definierad i en mängd
A
⊂
R
n
{\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}\,}
(se också
∞
{\displaystyle \infty \,}
-Sobolevrummet ):
W
1
,
∞
(
A
)
:=
{
f
:
A
→
R
|
f
är en Lipschitzfunktion
}
.
{\displaystyle W^{1,\infty }(A):=\left\{\,f:A\to \mathbb {R} \,\ |\,\ f{\mbox{ är en Lipschitzfunktion }}\right\}.\,}
i-klass metriken av Radonmått , där
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} \,}
, är en funktion
d
i
:
M
(
R
n
)
×
M
(
R
n
)
→
R
{\displaystyle d_{i}:{\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow \mathbb {R} \,}
definierad som:
d
i
(
μ
,
ν
)
:=
sup
{
|
∫
f
d
μ
−
∫
f
d
ν
|
:
f
∈
W
1
,
∞
(
B
i
(
0
)
)
}
,
{\displaystyle d_{i}(\mu ,\nu ):=\sup \left\{\,\left|\int f\,d\mu -\int f\,d\nu \right|\,:\,f\in W^{1,\infty }(B_{i}(0))\right\},\,}
dvs supremum av distansen för måttintegraler av mått
μ
,
ν
∈
M
(
R
n
)
{\displaystyle \mu ,\nu \in {\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n})\,}
över Lipschitzfunktioner i bollen
B
i
(
0
)
{\displaystyle B_{i}(0)\,}
.
Det går att visa att
(
M
(
R
n
)
,
d
i
)
{\displaystyle ({\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n}),d_{i})\,}
är ett metriskt rum för alla
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} \,}
. Tyvärr det är inte ett fullständigt metriskt rum. Så istället definierar man en annan metrik med hjälp av metrikerna
d
i
{\displaystyle d_{i}\,}
,
i
∈
N
.
{\displaystyle i\in \mathbb {N} .}
Formell definition
redigera
Metrik av mått ,
d
{\displaystyle d\,}
, är en formellt funktion
M
(
R
n
)
×
M
(
R
n
)
→
R
{\displaystyle {\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow \mathbb {R} \,}
definierad som:
d
(
μ
,
ν
)
:=
∑
i
=
1
∞
2
−
i
min
{
1
,
d
i
(
μ
,
ν
)
}
,
{\displaystyle d(\mu ,\nu ):=\sum _{i=1}^{\infty }2^{-i}\min \left\{1,d_{i}(\mu ,\nu )\right\},}
för
μ
,
ν
∈
M
(
R
n
)
.
{\displaystyle \mu ,\nu \in {\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n}).\,}
Det går att visa att rummet
(
M
(
R
n
)
,
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n}),d)\,}
, rummet av mått , är ett fullständigt metriskt rum och dessutom separabelt . Den täta och uppräkneliga delmängden av Radonmått i
M
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n})\,}
är summan av Diracmått över mittpunkter av dyadiska kuber i
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
. [ 1]
Svag konvergens av mått
redigera
Eftersom
(
M
(
R
n
)
,
d
)
{\displaystyle ({\mathfrak {M}}(\mathbb {R} ^{n}),d)\,}
är ett metriskt rum man kan definiera konvergens [särskiljning behövs ] av mått: en följd av mått
(
μ
i
)
{\displaystyle (\mu _{i})\,}
konvergera till
μ
{\displaystyle \mu \,}
om
d
(
μ
i
,
μ
)
→
0
{\displaystyle d(\mu _{i},\mu )\rightarrow 0\,}
, när
i
→
∞
{\displaystyle i\rightarrow \infty \,}
.
Man kallar den här typen av konvergens för svag konvergens av mått och skriver:
μ
i
⇀
μ
,
μ
i
→
w
μ
,
{\displaystyle \ \mu _{i}\rightharpoonup \mu ,\ \mu _{i}\ {\stackrel {\mathrm {w} }{\rightarrow }}\ \mu ,}
eller
μ
i
→
∗
μ
,
{\displaystyle \ \mu _{i}\ {\stackrel {\mathrm {*} }{\rightarrow }}\ \mu ,}
där w (eng. weak ) och
∗
{\displaystyle \ast \,}
(eng. star ) antyder på svaga stjärnatopologin av Radonmått.
Det går att visa att
μ
i
⇀
μ
,
{\displaystyle \ \mu _{i}\rightharpoonup \mu ,}
om och endast om
∫
f
d
μ
i
→
∫
f
d
μ
{\displaystyle \int f\,d\mu _{i}\rightarrow \int f\,d\mu \,}
, när
i
→
∞
{\displaystyle i\rightarrow \infty \,}
.
för alla
f
∈
C
c
(
R
n
)
{\displaystyle f\in C_{c}(\mathbb {R} ^{n})\,}
där
C
c
(
R
n
)
{\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} ^{n})\,}
är mängden av alla kontinuerliga funktioner i
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}
med kompakt stöd .
Anmärkning : det finns exempel av mängder
A
⊂
R
n
{\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}\,}
när
μ
i
⇀
μ
{\displaystyle \mu _{i}\rightharpoonup \mu }
men
μ
i
(
A
)
↛
μ
(
A
)
{\displaystyle \mu _{i}(A)\nrightarrow \mu (A)\,}
. Å andra sidan om
A
{\displaystyle A\,}
är begränsad och
μ
(
∂
A
)
=
0
{\displaystyle \mu (\partial A)=0\,}
så är
μ
i
(
A
)
→
μ
(
A
)
{\displaystyle \mu _{i}(A)\rightarrow \mu (A)\,}
om
μ
i
⇀
μ
{\displaystyle \mu _{i}\rightharpoonup \mu }
.
^ Pertti Mattila (1995), Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and rectifiability (1st edition), Anmärkning 14.15, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-65595-8