Radonmått

Radonmått är inom matematiken viktig typ av mått i topologiska rum. En intuitiv återgivning för Radonmått är att den mäter storlek av mängder. De viktigaste Radonmåtten är Lebesguemåttet, Hausdorffmåttet och Haarmåttet.

Definition redigera

Låt $(X,{\mathcal {T}})$ vara ett topologiskt rum. Borelmåttet $\mu \,$ i $X\,$ är ett Radonmått, om

$\mu (K)<\infty$ för alla kompakt mängder $K\subset X$ .
$\mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subset U{\mbox{ och }}K\subset X{\mbox{ kompakt}}\}$ för alla öppna mängder $U\subset X$ .
$\mu (B)=\inf\{\mu (U):B\subset U{\mbox{ och }}U\subset X{\mbox{ öppen}}\}$ för alla Borelmängder $B\subset X$ .

Om $(X,{\mathcal {T}})=(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {T}}_{|\cdot |})$ är ett Borelmått är $\mu \,$ i $\mathbb {R} ^{n}\,$ ett Radonmått om och endast om $\mu \,$ är ett lokalt ändligt mått, dvs

för alla

x\in \mathbb {R} ^{n}

existerar

r_{x}>0\,

så att

\mu (B(x,r))<\infty

för alla

0<r\leq r_{x}

.

Applikationer redigera

Man behöver Radonmåttet i funktionalanalys och geometrisk måtteori.

Karakterisation med funktionaler redigera

Huvudartikel: Riesz representationssats.

Om $(X,{\mathcal {T}})$ är ett lokalt kompakt Hausdorffrum, kan man karakterisera varje Radonmått i $X\,$ med funktionaler. Man kan visa att

F:{\mathcal {C}}_{c}(X)\rightarrow \mathbb {R}

är en positiv linjär funktional om och endast om där finns ett Radonmått $\mu \,$ i $X\,$ så att

F(f)=\int _{X}f\,d\mu

för alla $f\in {\mathcal {C}}_{c}(X)$ . I litteraturen kallas ofta positiva linjära funktionaler Radonmått.

Hausdorffdimension redigera

Huvudartikel: Frostmans lemma.

Om $(X,{\mathcal {T}})=(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {T}}_{|\cdot |})$ kan man karakterisera Hausdorffdimensionen för kompakt mängder med Radonmått. Låt $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ vara en kompakt mängd och $s>0\,$ . Man kan visa att