Carathéodorys konstruktionen är en effektiv metod i måtteori för att konstruera Borels yttre mått i metriska rum som kallas yttre Carathéodorymåttet . Metoden uppkallat efter grekisk matematikern Constantin Carathéodory .
Carathéodorys idé var att använda den metriska strukturen så att vi täcka en mängd med vissa testmängder och "mäta" dem med ett testmått . Sedan definierar man måttet på samma sätt som Lebesguemåttet .
Först behövs några definitioner för konstruktionen. Låt
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)\,}
metriskt rum .
Mängden
F
⊂
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(X)}
testmängdfamilj om det för varje
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0\,}
F
i
∈
F
{\displaystyle F_{i}\in {\mathcal {F}}}
X
=
⋃
i
=
1
∞
F
i
{\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{\infty }F_{i}}
d
(
F
i
)
≤
δ
{\displaystyle d(F_{i})\leq \delta }
för alla
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
d
(
A
)
{\displaystyle d(A)\,}
diametern för
A
{\displaystyle A\,}
Låt
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
ζ
:
F
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \zeta :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]}
testmått om det för varje
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0\,}
F
∈
F
{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}
d
(
F
)
≤
δ
{\displaystyle d(F)\leq \delta }
ζ
(
F
)
≤
δ
{\displaystyle \zeta (F)\leq \delta }
Om
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0\,}
uppräknelig familj
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
δ
{\displaystyle \delta \,}
A
⊂
X
{\displaystyle A\subset X\,}
A
⊂
⋃
E
∈
E
E
{\displaystyle A\subset \bigcup _{E\in {\mathcal {E}}}{\mathcal {E}}}
d
(
E
)
≤
δ
{\displaystyle d(E)\leq \delta \,}
för alla
E
∈
E
{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}
Låt
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)\,}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
ζ
:
F
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \zeta :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]}
För
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0\,}
A
⊂
X
{\displaystyle A\subset X\,}
C
δ
(
A
)
:=
inf
{
∑
E
∈
E
ζ
(
E
)
:
E
⊂
F
är
A
:s
δ
-overtäckning
}
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\delta }(A):=\inf \left\{\sum _{E\in {\mathcal {E}}}\zeta (E):{\mathcal {E}}\subset {\mathcal {F}}{\mbox{ är }}A{\mbox{:s }}\delta {\mbox{-overtäckning}}\right\}}
Eftersom
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
δ
{\displaystyle \delta \,}
X . Så att
C
δ
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\delta }\,}
funktion
C
δ
:
P
(
X
)
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\delta }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ]}
som kallas
δ
{\displaystyle \delta \,}
Carathéodoryinnehållet .
Om
A
⊂
X
{\displaystyle A\subset X\,}
δ
↓
0
{\displaystyle \delta \downarrow 0}
δ
{\displaystyle \delta \,}
A
{\displaystyle A\,}
δ
↦
C
δ
(
A
)
{\displaystyle \delta \mapsto {\mathcal {C}}_{\delta }(A)}
växande när
δ
↓
0
{\displaystyle \delta \downarrow 0}
gränsvärden
lim
δ
↓
0
C
δ
(
A
)
{\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}{\mathcal {C}}_{\delta }(A)}
C
:=
lim
δ
↓
0
C
δ
{\displaystyle {\mathcal {C}}:=\lim _{\delta \downarrow 0}{\mathcal {C}}_{\delta }}
som kallas yttre Carathéodorymåttet .
Man kan visa att yttre Carathéodorymåttet är ett Borel yttre mått och om
F
⊂
Bor
X
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mbox{Bor}}\,X}
Borelregelbundet yttre mått .
Carathéodorys konstruktion är en mycket effektiv metod, då man kan definiera många naturliga mått med det.
Yttre Hausdorffmått
redigera
Huvudartikel: Hausdorffmått .Det viktigaste exemplet är det s -dimensionella yttre Hausdorffmåttet . Konstrionen går till så att testmängderna är alla mängder och testmåttet är diametern upphöjat till s .
Mer precist, om
s
≥
0
{\displaystyle s\geq 0\,}
metriska rummet
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)\,}
separabelt ,
testmängdfamiljen är
F
=
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X)}
testmåttet
ζ
(
F
)
=
d
(
F
)
s
{\displaystyle \zeta (F)=d(F)^{s}\,}
F
∈
F
{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}
så är
δ
{\displaystyle \delta \,}
s -dimensionella
δ
{\displaystyle \delta \,}
C
δ
=
H
δ
s
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\delta }={\mathcal {H}}_{\delta }^{s}\,}
och yttre Carathéodorymåttet det s -dimensionella yttre Hausdorffmåttet
C
=
H
s
{\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {H}}^{s}\,}
Yttre Lebesguemått
redigera
Huvudartikel: Lebesguemått .Andra exempel är det n -dimensionella yttre Lebesguemåttet som är
∞
{\displaystyle \infty \,}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
n -intervall är testmängder och testmåttet är det geometriska måttet för n -intervall.
Mer precist, om
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
metriska rummet
(
X
,
d
)
=
(
R
n
,
|
⋅
−
⋅
|
)
{\displaystyle (X,d)=(\mathbb {R} ^{n},|\cdot -\cdot |)\,}
testmängdfamiljen är
F
=
I
n
{\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {I}}^{n}}
n -intervall
testmåttet är geometriska måttet
ζ
(
I
)
=
μ
(
I
)
{\displaystyle \zeta (I)=\mu (I)\,}
I
∈
F
{\displaystyle I\in {\mathcal {F}}}
så är
∞
{\displaystyle \infty \,}
n -dimensionella yttre Lebesguemåttet
C
∞
=
L
n
∗
.
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\infty }={\mathcal {L}}_{n}^{*}.\,}
Yttre Favardmått
redigera
Huvudartikel: Favardmått .Ett speciellt exempel för Carathéodorys konstruktion är att man kan konstruera Favardmåttet i
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Borelmängder är testmängder och testmåttet är en speciellt integralen definierad med hjälp av Grassmannmåttet .
Mer precist, om
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
0
<
m
<
n
{\displaystyle 0<m<n\,}
t
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle t\in [0,\infty ]\,}
metriska rummet
(
X
,
d
)
=
(
R
n
,
|
⋅
−
⋅
|
)
{\displaystyle (X,d)=(\mathbb {R} ^{n},|\cdot -\cdot |)\,}
testmängdfamiljen är
F
=
Bor
R
n
{\displaystyle {\mathcal {F}}={\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}}
testmåttet för
F
∈
F
{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}
ζ
(
F
)
=
{
(
∫
G
(
n
,
m
)
H
m
(
P
V
F
)
t
d
γ
n
,
m
(
V
)
)
1
/
t
,
om
1
≤
t
<
∞
ess sup
{
H
m
(
P
V
F
)
:
V
∈
G
(
n
,
m
)
}
,
om
t
=
∞
,
{\displaystyle \zeta (F)=\left\{{\begin{matrix}\left(\int _{G(n,m)}{\mathcal {H}}^{m}(P_{V}F)^{t}\,d\gamma _{n,m}(V)\right)^{1/t},&{\mbox{ om }}1\leq t<\infty \\{\mbox{ess sup}}\{{\mathcal {H}}^{m}(P_{V}F):V\in G(n,m)\},&{\mbox{ om }}t=\infty ,\end{matrix}}\right.}
där
operatoren
ess
sup
{\displaystyle \operatorname {ess} \sup }
väsentligt supremum med avseende på Grassmannmåttet
γ
n
,
m
{\displaystyle \gamma _{n,m}\,}
Då är yttre Carathéodorymåttet det m -dimensionella yttre Favardmåttet med konstanten
t
{\displaystyle t\,}
C
=
I
t
m
{\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {I}}_{t}^{m}\,}
A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin, Introductory Real Analysis , Dover, New York, 1970 ISBN 0-486-61226-0 
![{\displaystyle \zeta :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4060c015dc514ac93c1a3ff84fdf0c85f5b9682b)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\delta }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cec81c4ccad048c9708229dbbf73d7100f304b1)
![{\displaystyle t\in [0,\infty ]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d3fa283d90589ab86a676cef08f5f711d6bb98)
