Öppna huvudmenyn

Lorentztransformationen är en uppsättning ekvationer inom relativitetsteorin som anger hur tids- och rumskoordinater mäts i olika inertialsystem. Dessa ekvationer används för att transformera dessa storheter mellan olika inertialsystem. En storhet som inte ändras av en Lorentztransformation sägs vara Lorentzinvariant.

Relativitetsteorin postulerar att ljusets hastighet är densamma i alla referenssystem, vilket är ett tillräckligt antagande för att härleda Lorentztransformationen.

Innehåll

HistorikRedigera

Lorentztransformationen är uppkallad efter Hendrik Lorentz, som tillkännagav sina slutsatser 1904 utan att känna till att Woldemar Voigt redan 1887 hade publicerat kring detta. Voigts arbete blev inte uppmärksammat förrän långt senare, vilket Ernst & Hsu (2001) menar försenade insikterna som ledde fram till den speciella relativitetsteorin.[1] Voigttransformationens sätt att nalkas problemen har också erkänts av såväl Hermann Minkowski som Lorentz själv.

Matematisk formuleringRedigera

 
Inertialsystemet med primmade koordinater rör sig med hastighet   längs den positiva  -axeln. Sett från det systemet kommer det oprimmade inertialsystemet att röra sig med hastigheten   längs  -axeln.
 
Lorentzfaktorn  som funktion av  .

Lorentztransformationen relaterar rumtidskoordinaterna i två olika inertialsystem   och  , som rör sig i förhållande till varandra. Antag att   rör sig med hastigheten   längs  -axeln och att en händelse äger rum vid tiden   och koordinaterna   i systemet   och vid   och   i systemet  . Då ges   och   enligt Lorentztransformationen av[2]

 
 
 
 

där   är ljushastigheten i vakuum och

 

är Lorentzfaktorn, som alltid är större eller lika med 1.

Koordinaterna i   fås genom att inse att   håller hastigheten   relativt  -axeln i inertialsystemet  .

 
 
 
 

HastighetstransformationRedigera

Hastigheten i inertialsystemet S definieras som   och hastigheten i inertialsystemet S' definieras som  .

Hastighetskomponenten i  -led kan relateras till koordinaterna i S enligt

 

Resterande komponenter fås analogt och är

 

Hastighetskomponenterna  ,   och   i S erhålls, precis som för lägeskoordinaterna, genom att byta plats på primmade och oprimmade komponenter samt sätta ett minustecken framför  .

Hastighetstransformationerna kan användas för att addera hastigheter. En partikel håller hastigheten   i  -led relativt ett inertialsystem S och en annan partikel håller hastigheten   i  -led relativt den första partikeln. Då kan det inertialsystem där partikeln med hastighet   är i vila användas för att ta fram den andra partikelns hastighet relativt S enligt

 

alltså den inversa hastighetsadditionen i  -led. Om   erhålls

 

alltså kan den andra partikeln inte nå en högre hastighet än   relativt S.

AccelerationstransformationRedigera

Accelerationen i inertialsystemet S definieras som   och accelerationen i inertialsystemet S' definieras som  .   härleds med enligt

 

Vid deriveringen av  används kvotregeln. Övriga komponenter fås på motsvarande vis.

 
 

Accelerationskomponenterna  ,   och   i S erhålls, även här, genom att byta plats på primmade och oprimmade komponenter samt sätta ett minustecken framför  .

Konsekvenser från LorentztransformationenRedigera

Speciella relativitetsteorins postulat om konstant ljushastighet och avsaknad av absoluta referensramar har flera konsekvenser som intuitivt kan uppfattas som bisarra.

SamtidighetRedigera

Huvudartikel: Samtidighet

Två händelser som tycks ske samtidigt (men på olika platser) ur en observatörs synpunkt, kan uppfattas ske vid olika tidpunkter och i godtycklig ordning av andra observatörer som är i rörelse relativt den första observatören.

TidsdilatationRedigera

Huvudartikel: Tidsdilatation

Tidsskillnaden mellan två händelser är inte något objektivt, utan beror på observatörers rörelse i förhållande till varandra. En observatör O mäter tiden till att gå snabbare med en faktor   i sitt eget inertialsystem, jämfört med vad O mäter tiden till att gå för en observatör O' som rör sig med en hastighet   relativt O. Om O mäter ett tidsintevall i inertialsystemet där O' är stationär till att vara  , mäter O tidsintervallet i sitt eget inertialsystem till att vara

 .

Det omvända gäller också, alltså ser O' det som att dess tid gårsnabbare med en faktor   vad tiden går för O. Detta har gett upphov till tvillingparadoxen, där misstaget begås att blanda ihop inertialsystem med referenssystem.

LängdkontraktionRedigera

Huvudartikel: Längdkontraktion

Ett föremåls observerade storlek beror på observatörens relativa hastighet. Om en stav med längd L rör sig med hastighet en   relativt en observatör, kommer staven att uppfattas som kortare i dess färdriktning med en faktor   enligt observatören. Om staven har längden   i vila är stavens längd enligt observatören

 .

Dessa fenomen uppfattas inte vid vardagliga hastigheter utan blir väsentliga först vid hastigheter av ungefär 10% av ljusets hastighet i vakuum. Ekvationerna ger till exempel att ett föremål som färdas i 90% av ljusets hastighet är endast 44% av sin längd i rörelseriktningen, jämfört med när föremålet är i vila. Tidsdilatationen har observerats experimentellt, till exempel hos myoner i kosmisk strålning som har för kort livslängd för att kunna nå jordytan om inte tidsdilatationen existerade.

Klassisk fysik: Relativ rörelse mellan partiklar och vågfronterRedigera

 
Två partiklar, vid två olika tidpunkter, som rör sig rätlinjigt samt en sfärisk våg som utbreder sig från partikel 1.

En situation då Lorentzfaktorn uppstår naturligt är vid relativ rörelse mellan partiklar och vågfronter i ett homogent medium såsom stillastående luft.

Om vi lite motsägelsefullt säger att partiklarna varken interagerar med varandra eller med mediet (förutom att de kan sända ut vågfronter i det) så kommer de att röra sig med konstant hastighet, se figur.

Antag att partikel 2 vid tiden   detekterar en sfärisk vågfront som skapats av partikel 1 vid tiden  . Hur långt är avståndet   mellan partikel 2 och vågens centrum? Notera skillnaden mot det relativa avståndet   (som till skillnad från   är avståndet mellan partiklarna).

Mediet är homogent och vågor i det rör sig med den konstanta farten   så att sfäriska vågor endast ändrar radie och amplitud, inte form. Det antas även att den sfäriska vågen inte "ärver" något av hastigheten hos partikel 1 som sände ut den (om man släpper en sten i vattnet från en båt som rör sig så följer ju inte centrum hos ringarna på vattenytan efter båten med samma hastighet). Mediet (förutom de små störningarna på grund av vågorna) antas vidare överallt vara stillastående i förhållande till vårt absoluta koordinatsystem. Det finns inte heller några hinder i vägen, så vågfronten kan ta (och tar) kortaste vägen. Sambandet mellan tiden   och avståndet   blir därför  . Avståndet   och vektorn   tillhörande detta avstånd uppfyller ekvationen

 

I detta specialfall med rätlinjig partikelrörelse kan ett explicit uttryck för   härledas. Ur

 

fås genom insättning att

 

Kvadrerade absolutbeloppet blir

 

Resultatet blir en andragradsekvation i  :

 

Ett exempelRedigera

 
Två partiklar vid två olika tidpunkter samt en sfärisk våg som utbreder sig från partikel 1. Partikel 1 har hela tiden samma värde på sin hastighetskomponent i v_2-riktningen som partikel 2.

I specialfallet då skalärprodukten i föregående ekvation är noll (dvs då partikel 1 har samma hastighetskomponent i partikel 2:s riktning som partikel 2, se figur) fås

 

dvs samma uttryck som för Lorentz-faktorn men med den relativa farten ersatt med den absoluta farten hos mottagarpartikel 2. Avståndet   mellan partikel 2 och vågens centrum blir alltså längre än avståndet   mellan partiklarna då partikel 1 rör sig relativt mediet. Om farten   överskrider utbredningsfarten   kommer vågfronten från partikel 1 aldrig att kunna komma förbi partikel 2 oavsett hur nära varandra de befinner sig, vilket visar sig genom att   blir imaginär eller oändlig i den matematiska modellen.

Lorentztransformationen i kulturenRedigera

Lorentztransformationen illustreras i romanen Orbitsville av Bob Shaw.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

NoterRedigera

  1. ^ CHINESE JOURNAL OF PHYSICS (juni 2001) Arkiverad 16 juli 2011 hämtat från the Wayback Machine. pdf av Ernst, Andreas och Hsu Jong-Ping
  2. ^ Nordling, C. & Österman, J. (2006). Physics Handbook for Science and Engineering. (sid. 179). Lund: Studentlitteratur.