Inom matematiken är superfakulteten en funktion relaterad till fakulteten . Den definierades av Neil Sloane och Simon Plouffe i The Encyclopedia of Integer Sequences (Academic Press, 1995) som produkten av de
n
{\displaystyle n}
s
f
(
n
)
=
∏
k
=
1
n
k
!
=
∏
k
=
1
n
k
n
−
k
+
1
=
1
n
⋅
2
n
−
1
⋅
3
n
−
2
⋯
(
n
−
1
)
2
⋅
n
1
.
{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}
En ekvivalent formulering är
s
f
(
n
)
=
∏
0
≤
i
<
j
≤
n
(
j
−
i
)
{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(j-i)}
som är determinanten av Vandermondematrisen .
De första värdena av superfakulteten är (från
n
=
0
{\displaystyle n=0}
1 , 1 , 2 , 12 , 288 , 34560 , 24883200 , 125411328000 , 5056584744960000 , 1834933472251084800000 , 6658606584104736522240000000 , 265790267296391946810949632000000000 , 127313963299399416749559771247411200000000000 , … (talföljd A000178 i OEIS )Alternativ definition
redigera
Clifford Pickover definierade i sin bok Keys to Infinity (1995) beteckningen n$ för en variation av superfakulteten:
n
$
≡
n
!
n
!
⋅
⋅
⋅
n
!
⏟
n
!
,
{\displaystyle n\$\equiv {\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!\end{matrix}},\,}
som kan skrivas som,
n
$
=
n
!
(
4
)
n
!
{\displaystyle n\$=n!^{(4)}n!\,}
där (4) betecknar hyper4-operatorn , eller genom att använda Knuths pilnotation
n
$
=
(
n
!
)
↑↑
(
n
!
)
.
{\displaystyle n\$=(n!)\uparrow \uparrow (n!).\,}
Denna följd av superfakulteter börjar
1
$
=
1
{\displaystyle 1\$=1\,}
2
$
=
2
2
=
4
{\displaystyle 2\$=2^{2}=4\,}
3
$
=
6
↑↑
6
=
6
6
=
6
6
6
6
6
6
.
{\displaystyle 3\$=6\uparrow \uparrow 6={^{6}}6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}.}
Såsom vanligt tolkas itererade exponentationen på följande vis:
a
b
c
=
a
(
b
c
)
.
{\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}.\,}
