Inom matematiken är Struves funktioner
H
α
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)}
en speciell funktion som definieras som lösningen y (x ) av den icke-homogena Bessels differentialekvationen
x
2
d
2
y
d
x
2
+
x
d
y
d
x
+
(
x
2
−
α
2
)
y
=
4
(
x
/
2
)
α
+
1
π
Γ
(
α
+
1
2
)
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y={\frac {4{(x/2)}^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}}
Funktionerna introducerades av Hermann Struve 1882.
Det komplexa talet α är ordningen av Struves funktion och är ofta ett heltal. De modifierade Struvefunktionerna
L
α
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {L} _{\alpha }(x)}
definieras som
−
i
e
−
i
α
π
/
2
H
α
(
i
x
)
{\displaystyle -ie^{-i\alpha \pi /2}\mathbf {H} _{\alpha }(ix)}
.
Asymptotiska former
redigera
För stora x gäller
H
α
(
x
)
−
Y
α
(
x
)
→
1
π
Γ
(
α
+
1
2
)
(
x
2
)
α
−
1
+
O
(
(
x
/
2
)
α
−
3
)
{\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{\alpha -1}+O\left({(x/2)}^{\alpha -3}\right)}
där
Y
α
(
x
)
{\displaystyle Y_{\alpha }(x)}
är Neumanns funktion.
Struvefunktionerna satisfierar följande relationer:
H
α
−
1
(
x
)
+
H
α
+
1
(
x
)
=
2
α
x
H
α
(
x
)
+
(
x
/
2
)
α
π
Γ
(
α
+
3
2
)
{\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha -1}(x)+\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}\mathbf {H} _{\alpha }(x)+{\frac {{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {3}{2}})}}}
H
α
−
1
(
x
)
−
H
α
+
1
(
x
)
=
2
d
H
α
d
x
−
(
x
/
2
)
α
π
Γ
(
α
+
3
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha -1}(x)-\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)=2{\frac {\mathrm {d} \mathbf {H} _{\alpha }}{\mathrm {d} x}}-{\frac {{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {3}{2}})}}.}
Relation till andra funktioner
redigera
Struvefunktioner av heltalsordning kan uttryckas med hjälp av Webers funktion E n och vice versa: om n är ett icke-negativt heltal är
E
n
(
z
)
=
1
π
∑
k
=
0
[
n
−
1
2
]
Γ
(
k
+
1
/
2
)
(
z
/
2
)
n
−
2
k
−
1
Γ
(
n
−
1
/
2
−
k
)
H
n
{\displaystyle \mathbf {E} _{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (k+1/2)(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma (n-1/2-k)}}\mathbf {H} _{n}}
E
−
n
(
z
)
=
(
−
1
)
n
+
1
π
∑
k
=
0
[
n
−
1
2
]
Γ
(
n
−
k
−
1
/
2
)
(
z
/
2
)
−
n
+
2
k
+
1
Γ
(
k
+
3
/
2
)
H
−
n
.
{\displaystyle \mathbf {E} _{-n}(z)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (n-k-1/2)(z/2)^{-n+2k+1}}{\Gamma (k+3/2)}}\mathbf {H} _{-n}.}
Struvefunktioner av ordning n +1/2 (där n är ett heltal) kan skrivas med hjälp av elementära funktioner. Om n är ett icke-negativt heltal är
H
−
n
−
1
/
2
(
z
)
=
(
−
1
)
n
J
n
+
1
/
2
(
z
)
{\displaystyle \mathbf {H} _{-n-1/2}(z)=(-1)^{n}J_{n+1/2}(z)}
där högra sidan är en sfärisk Besselfunktion .
Struvefunktioner av alla ordningar är specialfall av generaliserade hypergeometriska serier 1 F2 (som inte är Gauss hypergeometriska funktion 2 F1 ) :
H
α
(
z
)
=
(
z
/
2
)
α
+
1
/
2
2
π
Γ
(
α
+
3
/
2
)
1
F
2
(
1
,
3
/
2
,
α
+
3
/
2
,
−
z
2
/
4
)
.
{\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha +1/2}}{{\sqrt {2\pi }}\Gamma (\alpha +3/2)}}{}_{1}F_{2}(1,3/2,\alpha +3/2,-z^{2}/4).}