Pseudometriskt rum
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
I matematiken är ett pseudometriskt rum en mängd med en tilldelad avståndsfunktion, en pseudometrik, i likhet med ett metriskt rum, men i ett pseudometriskt rum kan avståndsfunktionen bli noll även om elementen inte är lika.
Ibland, framförallt inom funktionalanalys, används termen semimetrisk rum om pseudometriska rum; dock har semimetriskt rum en annan betydelse inom topologi.
Definition redigera
Ett pseudometriskt rum är ett par där är en mängd och är en pseudometrik. Villkoren för en pseudometrik är, för :
- (symmetri)
- (triangelolikhet)
Skillnaden mellan en metrik och en pseudometrik är alltså att för en pseudometrik implicerar inte att , vilket är fallet för en vanlig metrik.
Exempel redigera
Pseudometriska rum dyker upp i funktionalanalys. Om man till exempel betraktar ett rum och utifrån detta skapar ett nytt rum som består av alla funktioner . Om vi väljer ett speciellt element , kan vi få en pseudometrik på genom:
- .
där .
I ett vektorrum kan man inducera en pseudometrik från en pseudonorm, genom:
Metriska rum från pseudometriska rum redigera
Man kan, utgående från ett pseudometriskt rum, bilda ett metriskt rum.
Låt (X,d) vara ett pseudometriskt rum. Definiera en ekvivalensrelation, , på X genom:
- om
och låt vara mängden av ekvivalensklasser som uppstår. Definiera sedan metriken:
då är ett metriskt rum.
Exempel redigera
Det viktiga exempel för den här ekvivalensrelation är -rummet när -normen
för formar en pseudometrik
för . Vi definiera -rummet (med samma symbol) så att det har metriken för ekvivalensklasser.