En oändlig produkt är inom matematiken en produkt som innehåller ett oändligt antal faktorer . Om a n betecknar den n te faktorn, kan en sådan produkt skrivas
∏
n
=
1
∞
a
n
=
a
1
a
2
a
3
⋯
.
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\cdots .}
Det finns två fall då denna produkt sägs konvergera:
lim
N
→
∞
∏
n
=
1
N
a
n
=
P
≠
0
{\displaystyle \lim _{N\to \infty }\prod _{n=1}^{N}a_{n}=P\neq 0}
Endast ett ändligt antal
a
n
{\displaystyle a_{n}}
Om något av dessa fall är uppfyllt sägs produkten vara konvergent ; i annat fall är den divergent .
Exempel på divergenta produkter
redigera
Produkterna
∏
n
=
1
∞
1
n
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}
∏
n
=
1
∞
0
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }0}
är inte konvergenta.
Krav för konvergens
redigera
Exempel på välkända oändliga produkter är Viètes formel för talet π ,
2
π
=
2
2
⋅
2
+
2
2
⋅
2
+
2
+
2
2
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }
och Wallis formel för detsamma,
π
2
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
8
7
⋅
8
9
⋯
.
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots .}
