Först skriver vi Nesbitts olikhet
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
≥
3
2
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}
i formen
a
+
b
+
c
b
+
c
+
a
+
b
+
c
a
+
c
+
a
+
b
+
c
a
+
b
−
3
≥
3
2
{\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+c}{a+c}}+{\frac {a+b+c}{a+b}}-3\geq {\frac {3}{2}}}
som kan vidare skrivas som
(
(
a
+
b
)
+
(
a
+
c
)
+
(
b
+
c
)
)
(
1
a
+
b
+
1
a
+
c
+
1
b
+
c
)
≥
9.
{\displaystyle ((a+b)+(a+c)+(b+c))\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9.}
Genom att dela med tre och faktorn till höger får vi
(
a
+
b
)
+
(
a
+
c
)
+
(
b
+
c
)
3
≥
3
1
a
+
b
+
1
a
+
c
+
1
b
+
c
.
{\displaystyle {\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}.}
Vänstra sidan är det aritmetiska medelvärdet och högra sidan är det harmoniska medelvärdet , så olikheten är sann.
Följande identitet gäller för alla
a
,
b
,
c
:
{\displaystyle a,b,c:}
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
=
3
2
+
1
2
(
(
a
−
b
)
2
(
a
+
c
)
(
b
+
c
)
+
(
a
−
c
)
2
(
a
+
b
)
(
b
+
c
)
+
(
b
−
c
)
2
(
a
+
b
)
(
a
+
c
)
)
.
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}={\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}}+{\frac {(a-c)^{2}}{(a+b)(b+c)}}+{\frac {(b-c)^{2}}{(a+b)(a+c)}}\right).}
Detta bevisar att vänstra membrum inte är mindre än
3
2
{\displaystyle {\frac {3}{2}}}
för positiva a,b och c.
Notera: varje rationell olikhet kan lösas genom att transformera den till en lämplig identitet; se vidare Hilberts sjuttonde problem .
Vi transformerar Nesbitts olikhet till en ekvivalent olikhet som är ett specialfall av en välkänd olikhet. Vi börjar med Nesbitts olikhet
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
≥
3
2
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}
och adderar
3
{\displaystyle 3}
till båda membrum:
a
+
b
+
c
b
+
c
+
a
+
b
+
c
a
+
c
+
a
+
b
+
c
a
+
b
≥
3
2
+
3.
{\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+c}{a+c}}+{\frac {a+b+c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}+3.}
Detta kan transformeras till
(
a
+
b
+
c
)
(
1
b
+
c
+
1
a
+
c
+
1
a
+
b
)
≥
9
2
.
{\displaystyle (a+b+c)\left({\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{a+b}}\right)\geq {\frac {9}{2}}.}
Multiplikation med
2
{\displaystyle 2}
ger att
(
(
b
+
c
)
+
(
a
+
c
)
+
(
a
+
b
)
)
(
1
b
+
c
+
1
a
+
c
+
1
a
+
b
)
≥
9
{\displaystyle ((b+c)+(a+c)+(a+b))\left({\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{a+b}}\right)\geq 9}
vilket stämmer enligt Cauchy–Schwarz olikhet .
Vi börjar med Nesbitts olikhet
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
≥
3
2
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}
och sätter a+b=x, b+c=y, c+a=z vilket ger
x
+
z
−
y
2
y
+
y
+
z
−
x
2
x
+
x
+
y
−
z
2
z
≥
3
2
{\displaystyle {\frac {x+z-y}{2y}}+{\frac {y+z-x}{2x}}+{\frac {x+y-z}{2z}}\geq {\frac {3}{2}}}
som kan transformeras till
x
+
z
y
+
y
+
z
x
+
x
+
y
z
≥
6
1
{\displaystyle {\frac {x+z}{y}}+{\frac {y+z}{x}}+{\frac {x+y}{z}}\geq {\frac {6}{1}}}
som är sann enligt olikheten av aritmetiska och geometriska medeltalen .
För att bevisa att
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
≥
3
2
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}
multiplicerar vi det första bråket med
a
a
{\displaystyle {\frac {a}{a}}}
, det andra med
b
b
{\displaystyle {\frac {b}{b}}}
och det tredje med
c
c
{\displaystyle {\frac {c}{c}}}
vilket ger
a
2
a
b
+
a
c
+
b
2
a
b
+
b
c
+
c
2
a
c
+
b
c
≥
3
2
{\displaystyle {\frac {a^{2}}{ab+ac}}+{\frac {b^{2}}{ab+bc}}+{\frac {c^{2}}{ac+bc}}\geq {\frac {3}{2}}}
Genom att använda Titus lemma får vi
a
2
a
b
+
a
c
+
b
2
a
b
+
b
c
+
c
2
a
c
+
b
c
≥
(
a
+
b
+
c
)
2
2
(
a
b
+
b
c
+
c
a
)
≥
3
2
.
{\displaystyle {\frac {a^{2}}{ab+ac}}+{\frac {b^{2}}{ab+bc}}+{\frac {c^{2}}{ac+bc}}\geq {\frac {(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}}\geq {\frac {3}{2}}.}
Det räcker alltså att bevisa att
(
a
+
b
+
c
)
2
≥
3
(
a
b
+
b
c
+
c
a
)
.
{\displaystyle (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca).}
Detta kan skrivas som
a
2
+
b
2
+
c
2
−
a
b
−
b
c
−
c
a
≥
0
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\geq 0}
vilket igen kan skrivas som
1
2
(
(
a
−
b
)
2
+
(
b
−
c
)
2
+
(
c
−
a
)
2
)
≥
0
{\displaystyle {\frac {1}{2}}((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2})\geq 0}
vilket stämmer.