Levinsons olikhet

Inom matematiken är Levinsons olikhet följande olikhet av Norman Levinson. Låt $a>0$ och låt $f$ vara en funktion vars tredje derivata existerar i det öppna intervallet $(0,2a)$ så att

$f'''(x)\geq 0$

för alla $x\in (0,2a)$. Anta att $0<x_{i}\leq a$ för $i=1,\ldots ,n$ och $0<p$. Då är

${\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right).$

Ky Fans olikhet är ett specialfall av Levinsons olikhet med

$p_{i}=1,\ a={\frac {1}{2}}$

och

$f(x)=\log x.\,$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Levinson's inequality, 11 december 2013.

• Scott Lawrence och Daniel Segalman: A generalization of two inequalities involving means, Proceedings of the American Mathematical Society. Vol 35 No. 1, september 1972.
• Norman Levinson: Generalization of an inequality of Ky Fan, Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol 8 (1964), 133–134.