Hopfinvariant
Inom matematiken, speciellt inom algebraisk topologi, är Hopfinvarianten, uppkallad efter Heinz Hopf, en homotopiinvariant av vissa avbildningar mellan sfärer.
Definition redigera
Låt vara en kontinuerlig funktion (anta att ). Då kan vi bilda cellkomplexet
där är en -dimensionell disk associerad till via . De cellulära kedjegrupperna är fritt genererade på -celler i grad , så de är lika med i grad 0, och och noll annars. Cellulär (ko-)homologi är (ko-)homologin av detta kedjekomplex, och eftersom alla randhomomorfier måste vara noll (kom ihåg att ), är kohomolgin
Beteckna generatorerna av kohomologigrupperna med
- and
För dimensionella orsaker måste alla kupprodukter mellan dessa klasser vara triviala utom . Följaktligen, som en ring, är kohomologin
Heltalet är Hopfinvarianten av avbildningen .
Källor redigera
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hopf invariant, 5 januari 2015.
- Adams, J.F. (1960), ”On the non-existence of elements of Hopf invariant one”, Ann. Math. (The Annals of Mathematics, Vol. 72, No. 1) 72 (1): 20–104, doi:
- Adams, J.F.; Atiyah, M.F. (1966), ”K-Theory and the Hopf Invariant”, The Quarterly Journal of Mathematics 17 (1): 31–38, doi:
- Crabb, M.; Ranicki, A. (2006), The geometric Hopf invariant, http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/slides/hopfbeam.pdf
- Hopf, Heinz (1931), ”Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche”, Mathematische Annalen 104: 637–665, doi: , ISSN 0025-5831
- Shokurov, A.V. (2001), ”Hopf invariant”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104