Ett fullständigt mått är ett begrepp inom matematisk måtteori . Ett mått är fullständigt om alla delmängder av nollmängder är mätbara . Dessa mängder kommer då nödvändigtvis ha måttet 0.
Formell definition
redigera
Låt
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
måttrum . Måttet µ är fullständigt om
A
∈
F
,
B
⊂
A
och
μ
(
A
)
=
0
⇒
B
∈
F
{\displaystyle A\in {\mathcal {F}},\ B\subset A\ {\mbox{och}}\ \mu (A)=0\ \Rightarrow \ B\in {\mathcal {F}}}
dvs delmängder av A är mätbara mängder. Om måttet i måttrummet är fullständigt kallas måttrummet för ett fullständigt måttrum .
Alla mått som man har konstruerade med yttre mått vid Carathéodorys kriterion är fullständigt: om
μ
∗
{\displaystyle \mu ^{*}\,}
A
⊂
X
{\displaystyle A\subset X\,}
µ* -mätbar mängd,
μ
∗
(
A
)
=
0
{\displaystyle \mu ^{*}(A)=0\,}
B
⊂
A
{\displaystyle B\subset A}
μ
∗
(
B
∩
E
)
+
μ
∗
(
B
∖
E
)
≤
m
o
n
o
t
o
n
t
μ
∗
(
E
)
+
μ
∗
(
A
)
=
μ
∗
(
E
)
{\displaystyle \mu ^{*}(B\cap E)+\mu ^{*}(B\setminus E){\stackrel {\mathrm {monotont} }{\leq }}\mu ^{*}(E)+\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(E)}
och
μ
∗
(
E
)
≤
s
u
b
a
d
d
i
t
i
v
μ
∗
(
B
∩
E
)
+
μ
∗
(
B
∖
E
)
,
{\displaystyle \mu ^{*}(E){\stackrel {\mathrm {subadditiv} }{\leq }}\mu ^{*}(B\cap E)+\mu ^{*}(B\setminus E),}
för alla
E
⊂
X
{\displaystyle E\subset X\,}
B är µ* -mätbar.
Därför är Lebesguemåttet och Hausdorffmåttet fullständiga mått.
Andra exempel är räknemåttet och Diracmåttet
