Låt M vara mittpunkten av en linje PQ i en cirkel genom vilken två andra linjer AB och CD dras. AD och BC skär linjen PQ på X och Y på motsvarande sätt. Då är M mittpunkten av XY .
Bevis 1 (Coxeter och Greitzer)
redigera
Bevis för fjärilsstatsen
Rita ut linjerna
X
X
′
{\displaystyle XX'\,}
X
X
″
{\displaystyle XX''\,}
A
M
{\displaystyle AM\,}
D
M
{\displaystyle DM\,}
X
{\displaystyle X\,}
Y
Y
′
{\displaystyle YY'\,}
Y
Y
″
{\displaystyle YY''\,}
B
M
{\displaystyle BM\,}
C
M
{\displaystyle CM\,}
Y
{\displaystyle Y\,}
Nu, eftersom
△
M
X
X
′
∼
△
M
Y
Y
′
,
{\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY',\,}
M
X
M
Y
=
X
X
′
Y
Y
′
,
{\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'},}
△
M
X
X
″
∼
△
M
Y
Y
″
,
{\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'',\,}
M
X
M
Y
=
X
X
″
Y
Y
″
,
{\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''},}
△
A
X
X
′
∼
△
C
Y
Y
″
,
{\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'',\,}
X
X
′
Y
Y
″
=
A
X
C
Y
,
{\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY},}
△
D
X
X
″
∼
△
B
Y
Y
′
,
{\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY',\,}
X
X
″
Y
Y
′
=
D
X
B
Y
,
{\displaystyle {XX'' \over YY'}={DX \over BY},}
Från de föregående ekvationerna kan man se att
(
M
X
M
Y
)
2
=
X
X
′
Y
Y
′
X
X
″
Y
Y
″
,
{\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},}
=
A
X
⋅
D
X
C
Y
⋅
B
Y
,
{\displaystyle {}={AX\cdot DX \over CY\cdot BY},}
=
P
X
⋅
Q
X
P
Y
⋅
Q
Y
,
{\displaystyle {}={PX\cdot QX \over PY\cdot QY},}
=
(
P
M
−
X
M
)
⋅
(
M
Q
+
X
M
)
(
P
M
+
M
Y
)
⋅
(
Q
M
−
M
Y
)
,
{\displaystyle {}={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)},}
=
(
P
M
)
2
−
(
M
X
)
2
(
P
M
)
2
−
(
M
Y
)
2
,
{\displaystyle {}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},}
eftersom
P
M
{\displaystyle PM\,}
M
Q
{\displaystyle MQ\,}
Nu,
(
M
X
)
2
(
M
Y
)
2
=
(
P
M
)
2
−
(
M
X
)
2
(
P
M
)
2
−
(
M
Y
)
2
.
{\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}
Det bevisar
M
X
=
M
Y
,
{\displaystyle MX=MY,\,}
M
{\displaystyle M\,}
X
Y
.
{\displaystyle XY.\,}
Bevis 2 (Shklyarsky )
redigera
Låt
x
=
X
M
{\displaystyle x=XM\,}
a
=
P
M
{\displaystyle a=PM\,}
A
X
⋅
X
D
=
P
X
⋅
X
Q
{\displaystyle AX\cdot XD=PX\cdot XQ\,}
=
a
2
−
x
2
.
{\displaystyle =a^{2}-x^{2}.\,}
△
D
X
M
{\displaystyle \triangle DXM}
sinussatsen får vi
D
X
=
x
sin
α
sin
(
180
−
(
α
+
β
+
γ
)
)
{\displaystyle DX={\frac {x\sin \alpha }{\sin(180-(\alpha +\beta +\gamma ))}}\,}
=
x
sin
α
sin
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle ={\frac {x\sin \alpha }{\sin(\alpha +\beta +\gamma )}}\,}
Och triangeln
△
A
X
M
{\displaystyle \triangle AXM}
A
X
=
x
sin
β
sin
γ
{\displaystyle AX={\frac {x\sin \beta }{\sin \gamma }}\,}
vilket leder till
A
X
⋅
D
X
=
x
2
⋅
sin
α
⋅
s
i
n
β
sin
γ
⋅
sin
(
α
+
β
+
γ
)
=
a
2
−
x
2
.
{\displaystyle AX\cdot DX={\frac {x^{2}\cdot \sin \alpha \cdot sin\beta }{\sin \gamma \cdot \sin(\alpha +\beta +\gamma )}}=a^{2}-x^{2}.\,}
Nu kan vi bryta ut
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
2
=
a
2
⋅
sin
γ
⋅
sin
(
α
+
β
+
γ
)
sin
α
⋅
sin
β
+
sin
γ
⋅
sin
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle x^{2}={\frac {a^{2}\cdot \sin \gamma \cdot \sin(\alpha +\beta +\gamma )}{\sin \alpha \cdot \sin \beta +\sin \gamma \cdot \sin(\alpha +\beta +\gamma )}}\,}
Eftersom det uttrycket är symmetriskt i
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
y
=
M
Y
{\displaystyle y=MY}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
