Eulers formel

Se Eulers formel (geometri) för det resultat gällande konvexa polyedrar som även kallas "Eulers formel"

Eulers formel inom komplex analys, uppkallad efter Leonhard Euler, kopplar samman exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna:

Eulers formel på enhetscirkeln i det komplexa talplanet.

$\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }=\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta$

En enkel konsekvens av Eulers formel är Eulers identitet

$\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0$

som förbluffat matematikstuderande genom tiderna. Formeln relaterar fyra tal från helt olika delar av matematiken: talet ${\textstyle e}$ från analysen, talet ${\textstyle \pi }$ från geometrin, den imaginära enheten, ${\textstyle i}$, från de komplexa talen och talet 1 från aritmetiken.

Formeln kan härledas ur taylorutvecklingen av $e^{z}$ genom att sätta ${\textstyle z=i\theta }$. Det finns även en omvänd variant som kallas Eulers formler, vilka istället uttrycker de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus med hjälp av exponentialfunktionen:

$\sin \theta ={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2i}}$

$\cos \theta ={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2}}$

Bevis av Eulers formel

Taylorserien för den reella exponentialfunktionen ${\textstyle e^{x}}$ kan skrivas

$\mathrm {e} ^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

Detta motiverar definitionen av den komplexa exponentialfunktionen enligt

$\mathrm {e} ^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots$

Funktionerna ${\textstyle e^{x}}$, ${\textstyle \cos(x)}$ och ${\textstyle \sin(x)}$ (där ${\textstyle x}$ är ett reellt tal) kan taylorutvecklas runt noll, vilket ger serierna

${\begin{aligned}\mathrm {e} ^{x}&{}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\\cos x&{}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}$

För komplexa tal ${\textstyle z}$, definieras var och en av dessa funktioner av respektive serie genom att ${\textstyle x}$ ersätts med ${\textstyle z}$ (där ${\textstyle x}$ är ett reellt och ${\textstyle z}$ är ett komplext tal). Detta är tillåtet om högerleden existerar för alla ${\textstyle z}$, vilket är fallet då konvergensradierna är oändliga. De tre serierna är absolutkonvergenta för alla ${\textstyle z}$. Då gäller:

${\begin{aligned}\mathrm {e} ^{iz}&{}=1+\mathrm {i} z+{\frac {(\mathrm {i} z)^{2}}{2!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{3}}{3!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{4}}{4!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{5}}{5!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{6}}{6!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{7}}{7!}}+{\frac {(\mathrm {i} z)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=1+\mathrm {i} z-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {\mathrm {i} z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {\mathrm {i} z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {\mathrm {i} z^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+\mathrm {i} \left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos z+\mathrm {i} \sin z\end{aligned}}$

Notera att om ${\textstyle z}$ sätts till ett reellt tal ${\textstyle x}$ så erhålls Eulers formel på den vanliga formen:

$\mathrm {e} ^{ix}=\cos {x}+\mathrm {i} \sin {x}$

Se även

• Komplexa tal
• Eulers identitet
• Eulers sats

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Eulers formel.
  Bilder & media