Inom integralkalkylen uppstod behovet av elliptiska integraler i samband med problemet att beräkna längden av en elliptisk båge. De studerades först av Giulio Fagnano och Leonhard Euler . Den moderna matematiken definierar en elliptisk integral som varje funktion f
f
(
x
)
=
∫
c
x
R
(
t
,
P
(
t
)
)
d
t
,
{\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,dt,}
där R rationell funktion med två argument, P polynom av grad 3 eller 4 utan multipla rötter och c
Integraler av denna form, kan i allmänhet inte uttryckas med elementära funktioner . Undantag från denna regel förekommer när P R (x ,y )y
Historiskt sett upptäcktes elliptiska funktioner som inversa funktioner till elliptiska integraler.
Fullständiga elliptiska integralen av första slaget
redigera
K
K
(
k
)
=
∫
0
π
/
2
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
=
∫
0
1
d
t
(
1
−
t
2
)
(
1
−
k
2
t
2
)
,
{\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}},}
och kan skrivas med fullständiga elliptiska integralen av första slaget som
K
(
k
)
=
F
(
π
2
,
k
)
=
F
(
π
2
|
k
2
)
=
F
(
1
;
k
)
.
{\displaystyle K(k)=F({\tfrac {\pi }{2}},k)=F({\tfrac {\pi }{2}}\,|\,k^{2})=F(1;k).}
Den kan uttryckas som potensserien
K
(
k
)
=
π
2
∑
n
=
0
∞
[
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
]
2
k
2
n
{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}k^{2n}}
Med hjälp av Gauss hypergeometriska funktion kan den skrivas som
K
(
k
)
=
π
2
2
F
1
(
1
2
,
1
2
;
1
;
k
2
)
.
{\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}
Det effektivaste beräkningssättet är att utnyttja relationen till det aritmetisk-geometriska medelvärdet :
K
(
k
)
=
π
/
2
a
g
m
(
1
−
k
,
1
+
k
)
.
{\displaystyle K(k)={\frac {\pi /2}{\mathrm {agm} (1-k,1+k)}}.}
Speciella värden
redigera
K
(
0
)
=
π
2
{\displaystyle K(0)={\tfrac {\pi }{2}}}
K
(
2
2
)
=
1
4
π
Γ
(
1
4
)
2
{\displaystyle K{\big (}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}{\big )}={\tfrac {1}{4{\sqrt {\pi }}}}\;\Gamma {\big (}{\tfrac {1}{4}}{\big )}^{2}}
K
(
1
4
(
6
−
2
)
)
=
2
−
7
3
3
1
4
π
−
1
Γ
(
1
3
)
3
{\displaystyle K{\big (}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\big )}=2^{-{\frac {7}{3}}}3^{\frac {1}{4}}\pi ^{-1}\Gamma {\big (}{\tfrac {1}{3}}{\big )}^{3}}
K
(
1
4
(
6
+
2
)
)
=
2
−
7
3
3
3
4
π
−
1
Γ
(
1
3
)
3
{\displaystyle K{\big (}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\big )}=2^{-{\frac {7}{3}}}3^{\frac {3}{4}}\pi ^{-1}\Gamma {\big (}{\tfrac {1}{3}}{\big )}^{3}}
K
(
2
−
4
−
3
2
)
=
(
2
−
2
)
π
3
2
4
Γ
(
3
4
)
2
{\displaystyle K\left(2\,{\sqrt {-4-3\,{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {\left(2-{\sqrt {2}}\right)\pi ^{\frac {3}{2}}}{4\,\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}}
Relation till Jacobis θ-funktion
redigera
Relationen till Jacobis tehtafunktion ges av
K
(
k
)
=
π
2
θ
3
2
(
q
)
,
{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}^{2}(q),}
där q ges av
q
(
k
)
=
exp
(
−
π
K
′
(
k
)
K
(
k
)
)
.
{\displaystyle q(k)=\exp \left(-\pi {\frac {K^{\prime }(k)}{K(k)}}\right).}
Asymptotiska uttryck
redigera
K
(
k
)
≈
π
2
+
π
8
k
2
1
−
k
2
−
π
16
k
4
1
−
k
2
{\displaystyle K(k)\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}}
Derivata och differentialekvation
redigera
d
K
(
k
)
d
k
=
E
(
k
)
k
(
1
−
k
2
)
−
K
(
k
)
k
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k}}={\frac {E(k)}{k(1-k^{2})}}-{\frac {K(k)}{k}}}
d
d
k
[
k
(
1
−
k
2
)
d
K
(
k
)
d
k
]
=
k
K
(
k
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[k(1-k^{2}){\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k}}\right]=kK(k)}
En annan lösning ges av
K
(
1
−
k
2
)
.
{\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}}).}
![{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}k^{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598b26110cd11c7b6997480f6569b3e4fc230568)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[k(1-k^{2}){\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k}}\right]=kK(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db809432b43a7c3f41a1e3de08ff3462a8d05eb0)
Wikimedia Commons har media som rör Elliptisk integral.