Elastiska linjens ekvation

Elastiska linjens differentialekvation beskriver böjtröghetsmomentet för en balk vid böjning och är en differentialekvation av andra ordningen:

Elastiska linjen för en balk under böjning

$\mathrm {M(x)} =\mathrm {-E\,I} {\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}$

där

$M$ är böjmomentet,

$E$ är elasticitetsmodulen,

$I$ är balktvärsnittets böjtröghetsmoment och

${\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}$ är utböjningens andraderivata.

Produkten $E\,I$ kallas balkens böjstyvhet.

Elastiska linjen är den kurva balkens axel (geometriska orten för tvärsnittsytornas tyngdpunkter) bildar vid balkens deformation. Linjen är en plan kontinuerlig kurva som ligger i böjningsplanet (det plan där spänning/tryck-krafterna orsakade av böjningen är noll).

Tillämpningar

Elastiska linjens ekvation används för att bestämma balkars böjning respektive lutningsvinklar:

$w(x),\quad {\frac {dw}{dx}}$

Elastiska linjens ekvation kan kombineras med andra ekvationer eller samband, exempelvis

$\mathrm {T(x)} ={\frac {d}{dx}}{\Big (}\mathrm {-EI} {\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}{\Big )}$

där $T$ är tvärkraften.

$\mathrm {q(x)} ={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\Big (}\mathrm {EI} {\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}{\Big )}$

där $q$ är belastningsintensiteten (punktbelastningen) som vid utbredd last beror av lasten per längdenhet $Q/L$. Vanligt är att $q$ kan skrivas $q=-Q/L$