Dickmans funktion

Inom analytisk talteori är Dickmans funktion eller Dickman–de Bruijns funktion ρ en speciell funktion som används till att uppskatta antalet släta tal mindre än en given storhet. Den introducerades av Karl Dickman i hans enda matematiska publikation och studerades vidare av Nicolaas Govert de Bruijn.

Dickman–de Bruijns funktion ρ(u) utritad i en logaritmisk skala.

Definition

Dickman-de Bruijns funktion $\rho (u)$ är en kontinuerlig funktion som satisfierar differentialekvationen

$u\rho '(u)+\rho (u-1)=0\,$

med villkoret $\rho (u)=1$ för 0 ≤ u ≤ 1. Dickman bevisade att då $a$ är fixerat är

$\Psi (x,x^{1/a})\sim x\rho (a)\,$

där $\Psi (x,y)$ är antalet y-glatta tal inte större än x.

V. Ramaswami bevisade senare att $\Psi (x,x^{1/a})$ är asymptotiskt lika med $x\rho (a)$ med felterm

$\Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+O(x/\log x).$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dickman function, 5 februari 2014.

Externa länkar

• Broadhurst, David (2010). ”Dickman polylogarithms and their constants”. https://arxiv.org/abs/1004.0519. 
• Soundararajan, K. (2010). ”An asymptotic expansion related to the Dickman function”. https://arxiv.org/abs/1005.3494. 
• Weisstein, Eric W., "Dickman function", MathWorld. (engelska)