Cauchys medelvärdessats

Cauchys medelvärdessats är en generalisering av Lagranges medelvärdessats.

Låt f och g vara två funktioner $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ med följande tre egenskaper.

• Funktionerna f och g är kontinuerliga över ett slutet intervall $[a,\,b]$.
• Derivatorna $f^{\prime }$ och $g^{\prime }$ existerar över det öppna intervallet $(a,\,b)$.
• Derivatan $g^{\prime }$ är inte lika med noll på det öppna intervallet $(a,\,b)$.

Då innehåller det öppna intervallet $(a,\,b)$ minst ett tal, $c$, för vilket följande ekvation är sann:

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}$.

Bevis

Cauchys medelvärdessats bevisas genom att tillämpa Rolles sats på följande linjärkombination av det två funktionerna f och g:

$\phi (x)=\{f(b)-f(a)\}\cdot g(x)-\{g(b)-g(a)\}\cdot f(x)$.

De fakta att funktionerna f och g är kontinuerliga på det slutna intervallet $[a,\,b]$ och deriverbara på det öppna intervallet $(a,\,b)$ innebär att funktionen $\phi$ är kontinuerlig på det slutna intervallet $[a,\,b]$ och deriverbar på det öppna intervallet $(a,\,b)$; dessutom antar funktionen samma värde i intervallets ändpunkter:

$\phi (a)=\{f(b)-f(a)\}\cdot g(a)-\{g(b)-g(a)\}\cdot f(a)=\{f(b)-f(a)\}\cdot g(b)-\{g(b)-g(a)\}\cdot f(b)=\phi (b)$.

Rolles sats säger då att det öppna intervallet $(a,\,b)$ innehåller ett tal, c, för vilket derivatan $\phi ^{\prime }$ antar värdet noll:

${\Big (}\exists \,c\in (a,b){\Big )}\,{\Big (}\{f(b)-f(a)\}\cdot g^{\prime }(c)-\{g(b)-g(a)\}\cdot f^{\prime }(c)=0{\Big )}$.

Vi gör nu följande två observationer rörande funktionen g.

1. Vi vet att derivatan $g^{\prime }$ inte är noll på det öppna intervallet $(a,\,b)$ vilket innebär att talet $g^{\prime }(c)$ inte är lika med noll.
2. Om funktionen g antar samma värde i intervallets ändpunkter så kan vi tillämpa Rolles sats på den, och hävda att intervallet $(a,\,b)$ innehåller ett tal där derivatan $g^{\prime }$ är lika med noll; men detta strider mot vad vi vet om funktionen g. Därför antar den inte samma värde i intervallets ändpunkter, varför differensen $g(b)-g(a)\neq 0$.

Dessa observationer låter oss dividera ekvationen $\phi ^{\prime }(c)=0$ med talet $\{g(b)-g(a)\}\cdot g^{\prime }(c)$ – som vi nu vet inte är lika med noll – för att få följande resultat:

${\Big (}\exists \,c\in (a,b){\Big )}\,\left({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}\right)$.

Detta avslutar beviset av Cauchys medelvärdessats.