Capellis identitet

Inom matematiken är Capellis identitet, uppkallad efter Alfredo Capelli (1887), en analogi av formeln det(AB) = det(A) det(B) för vissa matriser med icke-kommuterande element relaterad till representationsteorin för Liealgebran ${\mathfrak {gl}}_{n}$. Den kan användas till att relatera en invariant ƒ till invarianten Ωƒ där Ω betecknar Cayleys Ω-process.

Satsen

Anta att x_ij för i,j = 1,...,n är kommuterande variabler. Beteckna med E_ij polariseringsoperatorn

$E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}.$

Capellis identitet säger att följande differentialoperatorer, uttryckta som determinanter, är identiska:

${\begin{vmatrix}E_{11}+n-1&\cdots &E_{1,n-1}&E_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\E_{n-1,1}&\cdots &E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n}\\E_{n1}&\cdots &E_{n,n-1}&E_{nn}+0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{11}&\cdots &x_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n1}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Capelli's identity, 2 juni 2014.

• Capelli, Alfredo (1887), ”Ueber die Zurückführung der Cayley'schen Operation Ω auf gewöhnliche Polar-Operationen”, Mathematische Annalen (Berlin / Heidelberg: Springer) 29 (3): 331–338, doi:10.1007/BF01447728, ISSN 1432-1807 
• Howe, Roger (1989), ”Remarks on classical invariant theory”, Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 313 (2): 539–570, doi:10.2307/2001418, ISSN 0002-9947 
• Howe, Roger; Umeda, Toru (1991), ”The Capelli identity, the double commutant theorem, and multiplicity-free actions”, Mathematische Annalen 290 (1): 565–619, doi:10.1007/BF01459261 
• Umeda, Tôru (1998), ”The Capelli identities, a century after”, Selected papers on harmonic analysis, groups, and invariants, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, "183", Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., s. 51–78, ISBN 978-0-8218-0840-5, http://books.google.com/books?isbn=0821808400 
• Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, http://books.google.com/?id=zmzKSP2xTtYC, läst 03/2007/26