Airys zetafunktion

Inom matematiken är Airys zetafunktion, studerad av Crandall 1996, en speciell funktion analog till Riemanns zetafunktion och som är relaterad till nollställena av Airys funktion.

Definition

Airyfunktionerna Ai och Bi

Airyfunktionen

$\mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\tfrac {1}{3}}t^{3}+xt\right)\,dt,$

är positiv för positiva x, men oskillerar för negativa värden på x; serien av värden på x för vilka Ai(x) = 0, ordnade enligt deras absoluta värden, kallas för Airy-nollställen och betecknas med a₁, a₂, ...

Airys zetafunktion är funktionen definierad från serien nollställen enligt formeln

$\zeta _{\mathrm {Ai} }(s)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{i}|^{s}}}.$

Serien konvergerar då reella delen av s är större än 3/2 och kan fortsättas analytiskt till andra värden på s.

Värden vid heltal

Värdet på Airys zetafunktion vid s = 2 är

$\zeta _{\mathrm {Ai} }(2)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{i}^{2}}}={\frac {3^{5/3}\Gamma ^{4}({\frac {2}{3}})}{4\pi ^{2}}}$

där Γ är gammafunktionen.

Liknande evalueringar är även möjliga för större heltalsvärden på s.

Det har förmodats att analytiska fortsättningen av Airys zetafunktion vid 1 får värdet

$\zeta _{\mathrm {Ai} }(1)={\frac {-3^{-2/3}\Gamma ({\frac {2}{3}})}{\Gamma ({\frac {4}{3}})}}.$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Airy zeta function, 20 december 2013.

Allmänna källor

• Crandall, Richard E. (1996), ”On the quantum zeta function”, Journal of Physics. A. Mathematical and General 29 (21): 6795–6816, doi:10.1088/0305-4470/29/21/014, ISSN 0305-4470 
• Weisstein, Eric W., "Airy Zeta Function", MathWorld. (engelska)