Tsiolkovskijs raketekvation, uppkallad efter Konstantin Tsiolkovskij som var en av flera som självständigt formulerade ekvationen, behandlar funktionen hos en raket: en farkost som kan accelerera sig själv genom att stöta ifrån sig delar av sin egen massa (reaktionsmassa) i hög fart i motsatt håll.

Raketekvationen lyder som följer: för varje raketmanöver, eller sekvens av raketmanövrar gäller:

eller

som är likvärdigt med:

där är den ursprungliga massan, är massan efter manövern/manövrarna, och är hastigheten hos raketens avgas i relation till raketen.

är den del av ursprungsmassan som används som reaktionsmassa.

HistorikRedigera

Raketekvationen härleddes självständigt av Konstantin Tsiolkovskij mot slutet av 1800-talet och är allmänt förknippad med hans namn. Dock visar en nyligen upptäckt pamflett "A Treatise on the Motion of Rockets" av William Moore[1] att den tidigaste kända härledningen gjordes 1813 vid Royal Military Academy i Woolwich i England. Ekvationen tillämpades då för vapenforskning.

HärledningRedigera

Betrakta följande system:

I denna härledning syftar "raketen" på raketen samt allt icke-förbrukat bränsle.

Newtons andra lag relaterar sambandet mellan alla externa krafter ( ) till förändringen i rörelsemoment för hela systemet enligt följande:

 

där  är rörelsemängden för raketen vid tiden  :

 

och   är rörelsemänden för raketen och det förbrukade bränslet vid tiden  :

 

och där, ur en observatörs perspektiv:

  är raketens hastighet vid tiden  
 är raketens hastighet vid tiden  
  är hastigheten av den massa som utgör det förbrända bränslet under tiden  
  är raketens massa vid tiden  
  är raketens massa vid tiden  

Hastigheten av det förbrända bränslet   i observatörens perspektiv är relaterat till hastigheten av det förbrända bränslet raketens perspektiv   genom (eftersom det förbrända bränslets hastighet är i negativ riktning)

 

Löser vi detta får vi:

 

och, genom att skriva  , eftersom att skjuta ut en positiv   resulterar i minskad massa,

 

I och med att det inte finns några externa krafter har vi   (Bevarande av rörelsemänd) och

 

Om vi antar att  är konstant, så kan uttrycket ovan integreras:

 

där   är den initiella massan, bränslet inkluderat,  är den slutgiltiga massan och  är massan av det förbrända bränslet ur raketens perspektiv.

ReferenserRedigera

  1. ^ Johnson W., "Contents and commentary on William Moore's a treatise on the motion of rockets and an essay on naval gunnery", International Journal of Impact Engineering, band 16, nummer 3, juni 1995, sid. 499-521