Inom geometri betecknar (homogena) trilinjära koordinater tre tal, , vilka anger en punkts relativa riktade vinkelräta avstånd till en triangels sidor.[1] De infördes av den tyske matematikern och fysikern Julius Plücker under 1829-1846.[2]

Figur 1.

De trilinjära koordinaterna är proportionella mot de faktiska avstånden till triangelsidorna, , och (figur 1), med en proportioanlitetskonstant så att: . Konstanten kan vara ett godtyckligt reellt tal större än noll. kan beräknas ur de givna koordinaterna genom

där betecknar triangelns area.

Om man anger de faktiska avstånden talar man om exakta trilinjära koordinater[3]. Oavsett värdet på är de trilinjära koordinaterna identiska så länge deras relativa storlek inte ändras: är detsamma som eller .

Är ettdera av talen i tripletten lika med noll ligger punkten på triangelsidan ifråga (avståndet till sidan är ju noll). Är två av dem lika med noll ligger punkten i det hörn i vilket de två sidorna möts. Alla tre kan självklart inte vara noll. Triangelhörnen , och anges ofta som , respektive (exakt [4] etc., där är triangelns area).

Avstånden är riktade, vilket innebär att för alla punkter på "rätt" sida av triangelsidan har koordinaten i fråga ett positivt värde, medan den för punkter på "fel" sida har ett negativt värde. Är alla tre koordinaterna positiva ligger punkten inom triangeln, annars utanför. Alla tre koordinaterna kan inte vara negativa - någon av dem måste vara större än noll.

Förhållande till barycentriska koordinaterRedigera

En punkt med de trilinjära koordinaterna   har de barycentriska koordinaterna  .[5]

Omvänt har därför en punkt med de barycentriska koordinaterna   de trilinjära koodinaterna  .

De homogena barycentriska koordinaterna   motsvaras av de exakta trilinjära koordinaterna  .[6]

Bevis
De barycentriska koordinaterna för punkten   är enligt definition  
Om   är homogena är de alltså lika med  , och omvänt är de exakta trilinjära koordinaterna  .

Trilinjära koordinater för utvalda punkterRedigera

Om en punkt har de trilinjära koordinaterna   så har punktens isogonalkonjugat de trilinjära koordinaterna  . [7]

Den inskrivna cirkelns medelpunkt har ju samma avstånd (dess radie  ) till triangelsidorna och har därför de trilinjära koordinaaterna   (eller exakt  ).[8] De vidskrivna cirklarna till  ,   och   har av samma skäl koordinaterna  ,  respektive   (exakt   etc.).

Triangelns tyngdpunkt (medianernas skärningspunkt) har de barycentriska koordinaterna  [9] och har därför de trilinjära koordinaterna   eller  [10].

Symmedianpunkten är isogonalkonjugat till triangelns tyngdpunkt och har därför de trilinjära koordinaterna  , eller via sinussatsen,  

Den omskrivna cirkelns medelpunkt har koordinaterna  [11] och ortocentrum, som är medelpunktens isogonalkonjugat, har alltså därför koordinaterna  .

Mittpunkten på en triangelsida, exempelvis   har koordinaterna   (exakt  , där   betecknar triangelns area).[8]

De exakta trilinjära koordinaterna för fotpunkten till höjden från exempelvis   till   är  [8]. De trilinjära koordinaterna kan alltså anges som  .

ReferenserRedigera

  1. ^ Trilinear coordinates/trilinjära koordinater i Stefan B. Lindström, 2013, Matematisk ordbok för högskolan: engelsk-svensk, svensk-engelsk, sid. 62. ISBN 9789198128703.
  2. ^ Julius Plücher utvecklade systemet gradvis i Ueber ein neues Coordinatensystem (Crelle's Journal, band 5, sid. 1-26, 1829 - återpublicerad i Julius Plückers gesammelte wissenschaftliche Abhandlungen, band 1, sid. 124ff.), System der analytischen Geometrie (1835) och System der Geometrie des Raumes in neuer analytischer Behandlungsweise (1846).
  3. ^ Weisstein, Eric W., "Exact Trilinear Coordinates", MathWorld. (engelska)
  4. ^ Whitworth sid. 16
  5. ^ Matthew Harvey, 2015, Geometry Illuminated: An Illustrated Introduction to Euclidean and Hyperbolic Plane Geometry, sid. 349. ISBN 9781939512116
  6. ^ Weisstein, Eric W., "Homogeneous Barycentric Coordinates", MathWorld. (engelska)
  7. ^ Se artikeln om isogonalkonjugat för bevis.
  8. ^ [a b c] Whitworth sid. 17.
  9. ^ Weisstein, Eric W., "Barycentric Coordinates", MathWorld. (engelska)
  10. ^ Multipicera vardera av de förstnämnda med  .
  11. ^ Whitworth sid. 19.